+0  
 
0
77
1
avatar

The polynomial equation x^3 + bx + c = 0 where b and c are rational numbers, has 1 + sqrt(2) as a root. It also has an integer root. What is it?

 Jun 30, 2021
 #1
avatar+121048 
+1

The roots  are  1 + sqrt 2  ,1 - sqrt 2  and  r

 

Sum  of the  products of the roots taken two  at  a time  =  2r  - 1  =   b

 

Product of  the roots  =    -r =  -c    ⇒    r =  c

 

So     

 

x^3   +  (2r - 1) x  + r =   0        since  1 + sqrt 2   is a root....then

 

(1 + sqrt 2)^3  +  (2r - 1)(1 + sqrt 2)   +  r   =   0

 

1  + 3sqrt 2  + 3*2 + 2sqrt 2  + 2r  - 1 + 2rsqrt 2 - sqrt 2  +  r  = 0

 

6 +  4sqrt 2  + 2r sqrt 2   +  3r  = 0

 

6 + 3r   +  2sqrt 2 ( 2 + r)  =  0

 

3 ( 2 + r)   + 2sqrt 2  ( 2 + r)  =  0

 

(2 + r)  ( 3  + 2sqrt 2)   =   0

 

r  =  -2

 

So   b =  2(-2)  -  1   =   - 5

c  =  -2  =    r

 

The polynomial is

 

x^3  -  5x   -  2      and  the integer root   =    -2

 

 

cool cool cool

 Jun 30, 2021
edited by CPhill  Jul 1, 2021

35 Online Users

avatar