help algebra

x² + 1/x²  =  (x⁴ + 1)/x²

 

23  =  x⁴ + x⁴ + 2     --->            23  =  (x⁴ + 1) + (x⁴ + 1)

                                --->            23  =  2(x⁴ + 1)

    divide by x²         --->        23/x²  =  2(x⁴ + 1)/x²         

                               --->     23/(2x²)  =  (x⁴ + 1)/x² 

                               --->           23/2  =  x⁴ + 1

                               --->           21/2  =  x⁴   

 

--->     x  =  fourth root of 21/2 

23 = x^4 + x^4 + 2

2 x^4 = 21

x^4 = 21/2

x^2 = sqrt (21/2)       ( taking only the positive root)

 

then    

sqrt (21/2) + 1/(sqrt 21/2) =   

[ (sqrt (21/2))^2 + 1]  / ( sqrt(21/2)) = 

23/2 / ( sqrt 21/2) =

23/2 (sqrt21/2) / (21/2) =

23/21 sqrt (21/2)                           or with further rationalization = 23/42 * sqrt (21)