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Let S be the set of all real numbers a such that the function {x^2+5x+a}/{x^2 + 7x - 44}can be expressed as a quotient of two linear functions. What is the sum of the elements of S?

Jul 19, 2019

#1
+2

Here's my best attempt....

x^2  + 7x - 44   can be factored as  (x + 11) ( x - 4)

So....we are looking for two "a's"   such  that   x^2 + 5x +  a  has  factors of

(x + 11)  or ( x - 4)

So

x  - 6

x + 11   [  x^2  + 5x  + a  ]

x^2  + 11x

_____________

-6x   + a

-6x  - 66

_________

a + 66    must be 0  ....so......a  =-66

Proof

x^2  + 5x  - 66         (x + 11) ( x - 6)             x  - 6

_____________  =   _____________   =    _______

x^2 + 7 x  -  44          (x + 11)(x - 4)               x -  4

Also

x  +  9

x -  4   [   x^2  + 5x   + a  ]

x^2  - 4x

_____________

9x  + a

9x - 36

_______

a+ 36   must  = 0 ....so.......a  =-36

Second proof

x^2 + 5x  - 36         ( x - 4) ( x + 9)            x +  9

___________   =   _____________  =    _______

x^2 + 7x -  44          (x - 4) ( x + 11)           x  + 11

So   either   a  =  -66   or  a  =  - 36

And the sum of the possible  a's   =  - [ 66 + 36 ]  =   -  102   Jul 19, 2019