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Given positive integers x and y such that x≠y and \(\frac1x+\frac1y=\frac1{18}\), what is the smallest possible value for x+y?

 Jun 21, 2021
 #1
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x, y   are  >   18

 

Let  z  = 18

Let  x  = z+ a

Let  b  =  z + b

 

So

 

 

1/ (z + a)  +  1 / (z + b)  =  1  / z

 

(z + b + z + a)  / [ (z + a) (z + b)  =   =  1/z

 

( 2z  + a +  b)  /  [ (z + a)  (z + b) ]  =   1  /z               cross-multiply

 

2z^2  +  az + bz   =   ( z + a)  ( z + b)

 

2z^2  + az + bz =  z^2  +  az + bz  +  ab              simplify

 

z^2  =   ab

 

18*2  =  ab

 

324  = ab

 

Factors of  324  = 

 

1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 9 | 12 | 18 | 27 | 36 | 54 | 81 | 108 | 162 | 324 

 

ab  will be minimized  when   a = 12   and  b   = 27

 

So

 

x = a + z =   12 + 17 =   30

 

y =  b +  z =   27 + 18  =   45

 

Smallest possible value  for  x  +  y      =  30   +    45  =    75

 

 

cool cool cool

 Jun 21, 2021

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