+288 The sequence \((a_n)\) is defined by \(a_1=\frac{1}{2}\) and
\(a_n = a_{n - 1}^2 + a_{n - 1}\)
for \(n \ge 2.\)
Prove that
\(\frac{1}{a_1 + 1} + \frac{1}{a_2 + 1} + \dots + \frac{1}{a_n + 1} < 2\ \)
for all \(n \ge 1.\)
-------Thanks! 
๐ ๐ข๐ซ๐ฌ๐ญ, ๐ฒ๐จ๐ฎ ๐ฌ๐ก๐จ๐ฎ๐ฅ๐ ๐ ๐๐ง๐๐ซ๐๐ญ๐ ๐๐๐จ๐ฎ๐ญ ๐๐ ๐ญ๐๐ซ๐ฆ๐ฌ ๐จ๐ ๐ญ๐ก๐ ๐๐ข๐ซ๐ฌ๐ญ ๐ฌ๐๐ช๐ฎ๐๐ง๐๐ ๐๐ฌ ๐๐จ๐ฅ๐ฅ๐จ๐ฐ๐ฌ:
๐ฅ๐ข๐ฌ๐ญ๐๐จ๐ซ๐๐๐๐ก(๐ง, ๐=(๐.๐, ๐.๐๐ , ๐.๐๐๐๐ , ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐ , ๐๐.๐๐๐๐๐๐๐๐ , ๐๐๐.๐๐๐๐๐๐๐ , ๐๐๐๐๐.๐๐๐๐๐ , ๐๐๐๐๐๐๐๐๐.๐ , ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ , ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ , ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐+๐๐ , ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐+๐๐๐), ๐=๐ / (๐ง+๐))
๐๐๐๐จ๐ง๐, ๐ฒ๐จ๐ฎ would ๐ ๐๐ง๐๐ซ๐๐ญ๐ ๐ญ๐ก๐ ๐๐ง๐ ๐ฌ๐๐ช๐ฎ๐๐ง๐๐ ๐๐ฒ ๐๐๐๐ข๐ง๐ ๐ ๐ญ๐จ ๐๐๐๐ก ๐ญ๐๐ซ๐ฆ ๐๐ง๐ ๐ญ๐๐ค๐ข๐ง๐ ๐ข๐ญ๐ฌ ๐ซ๐๐๐ข๐ฉ๐ซ๐จ๐๐๐ฅ ๐๐ง๐ ๐ฌ๐ฎ๐ฆ ๐ญ๐ก๐๐ฆ ๐๐ฅ๐ฅ ๐ฎ๐ฉ. ๐๐ง๐ ๐ญ๐ก๐ข๐ฌ ๐ข๐ฌ ๐ฐ๐ก๐๐ญ ๐ฒ๐จ๐ฎ ๐ฌ๐ก๐จ๐ฎ๐ฅ๐ ๐ ๐๐ญ:
(๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐, ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐-๐๐, ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐-๐๐, ๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐-๐๐๐)=๐.๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐.
๐๐ฌ ๐ฒ๐จ๐ฎ ๐๐๐ง ๐๐๐ฌ๐ข๐ฅ๐ฒ ๐ฌ๐๐ ๐ญ๐ก๐๐ญ ๐ญ๐ก๐ ๐ฌ๐ฎ๐ฆ ๐จ๐ ๐ญ๐ก๐ ๐๐ง๐ ๐ฌ๐๐ช๐ฎ๐๐ง๐๐ ๐ ๐๐ญ๐ฌ ๐๐ฅ๐จ๐ฌ๐๐ซ ๐๐ง๐ ๐๐ฅ๐จ๐ฌ๐ ๐ญ๐จ ๐ ๐๐ฎ๐ญ ๐๐๐๐๐ ๐ช๐ฎ๐ข๐ญ๐ ๐ซ๐๐๐๐ก๐ข๐ง๐ ๐ข๐ญ. ๐๐ก๐ข๐ฌ ๐ข๐ฌ ๐๐๐ ๐ ๐ฆ๐๐ญ๐ก๐๐ฆ๐๐ญ๐ข๐๐๐ฅ ๐ฉ๐ซ๐จ๐จ๐ ๐๐ฎ๐ญ ๐๐จ๐ฆ๐ฉ๐ฎ๐ญ๐๐ญ๐ข๐จ๐ง๐๐ฅ ๐ข๐ง๐๐ข๐๐๐ญ๐ข๐จ๐ง ๐ญ๐ก๐๐ญ ๐ญ๐ก๐ ๐ฌ๐ญ๐๐ญ๐๐ฆ๐๐ง๐ญ ๐ข๐ฌ ๐ญ๐ซ๐ฎ๐!.
