+0

# help thanks

0
212
1

The base of a solid is the region between the parabolas x=y^2  and 2y^2 = 3-x . Find the volume of the solid if the cross-sections perpendicular to the -axis are equilateral triangles.

Jul 23, 2021

#1
+1

See the  graph  here  :  https://www.desmos.com/calculator/kblqq5fy8r

x = y^2    ⇒   sqrt (x)  =  y    ⇒  2y  = 2sqrt (x)  =  side  length of  one group of equilateral triangles

2y^2  =  3 - x

y^2   =  (3-x)/2

y =   sqrt  [  (3 - x) / 2 ]   ⇒   2y  = 2 sqrt [ (3 - x) /2  ] =  sqrt ( 6 - 2x)  side  length of the other equilateral triangles

We  have  two integrals

The   height  of  the first  group  of  equilateral triangles  =   2y * sqrt (3) / 2  =  y sqrt (3)  = sqrt x * sqrt 3

Part  of  the   volume   =

1                                                                                     1

∫    sqrt (x) * sqrt (x)  * sqrt (3)   dx  =    sqrt (3)  [ x^2  / 2]  =   sqrt  (3)  / 2

0                                                                                      0

The height  of  the other  group  of equilateral triangles  =   sqrt (6 - 2x) sqrt (3) / 2

The  other part  of  the  volume  is

3

∫  sqrt ( 6 -2 x) / 2 *  sqrt (6 - 2x)  *  sqrt (3) / 2   dx  =

1

3

(sqrt 3)  / 4 *  ∫   ( 6  - 2x) dx  =

1

3

sqrt (3)/4  * [  6x  - x^2 ]         =

1

sqrt (3)  / 4 *   [   18 - 9  - 6  + 1  ]  =

sqrt (3)  / 4  *  [ 4]    =  sqrt (3)

So.....the total volume  is

sqrt (3)   / 2    +     sqrt (3)

3sqrt (3)  / 2   Jul 24, 2021