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The system of equations

\frac{xy}{x + y} = 1, \quad \frac{xz}{x + z} = 1, \quad \frac{yz}{y + z} = 2

has exactly one solution. What is $z$ in this solution?

 Jun 26, 2024
 #1
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xz = x + z                    yz = 2 ( y + z)

xz - x = z                     yz = 2y + 2z

x ( z  -1) = z                yz - 2y  = 2z

x = z / ( z -1)                  y ( z - 2)   =2z

                                    y = (2z) / (z -2)

 

xy = x + y

 

z/ (z-1)* (2z) ( z -2)  =   z/(z -1) + (2z) (z -2)

 

[2z^2] / [ (z-1)(z -2)] =   [  z (z -2) +  2z ( z -1)] / [ (z -1) ( z -2) ]

 

2z^2  = z^2 - 2z + 2z^2 - 2z

 

2z^2  = 3z^2 - 4z

 

z^2 - 4z  =  0

 

z ( z - 4)  = 0 

 

Reject z  = 0

 

z =  4

 

cool cool

 Jun 26, 2024

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