+0  
 
0
45
1
avatar

Prove that if the roots of x^3 - 9x^2 + 11x + c form an arithmetic sequence, then c = 21.

 Jun 17, 2021
 #1
avatar+121006 
+2

Let  the  roots  =  x, y, z        in that order

And let  c  = 21

 

By Vieta

x + y + z  =  9     ⇒      y + z  =  9 - x          (1)

xy + xz + yz  = 11  ⇒   x ( y + z)  +  yz   = 11  ⇒   x ( 9 - x)  +  yz =   11     (2)      

xyz  = -21    ⇒  yz   =    -21   /  x          (3)

 

Sub   (3)  into (2)

 

 

x (9 - x)  -  21/x    =  11    

 

-x^2   +  9x    -  21/x   =  11                multiply through  by  -x

 

x^3  - 9x^2  +  21   =  -11x

 

x^3   - 9x^2   + 11x   +  21    =   0

 

By  inspection     x  =   -1  is a  root

 

So

 

y  +  z   =   9  -  - 1     =  10

And  

yz =    -21/ -1   = 21

 

To form an arithmetic  series,   y  =   3   and   z =   7

 

So.....the  series is

 

x     y     z

-1   3     7

 

 

cool cool cool

 Jun 17, 2021

24 Online Users

avatar