+0  
 
0
39
1
avatar

Find polynomial f(n) such that for all integers n >= 1 we have

f(n) = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3

 

Write f(n) as a polynomial with terms in descending order of n 

 Jul 6, 2021
 #1
avatar+120966 
+1

Using the  sum of differences

 

1     9       36     100     225    441     784   

   8     27       64      125     216    343

      19      37       61     91      127

           18      24      30      36

                 6        6        6

We have  4  non-zero  differences

 

The polynomial  will be of  the  form

an^4  + bn^3  + cn^2  + dn  +  e  

 

We  have  this system

a  +  b  +  c  +   d  +  e    =  1

16a + 8b + 4c + 2d + e  = 9

81a + 27b+ 9c + 3d + e  =  36

256a + 64b + 16c + 4d  + e  = 100

625a + 125b + 25c + 5d  + e  = 225

 

This is  tedious to solve....using a little  technology

 

a = 1/4

b = 1/2

c = 1/4

d,e  =  0

 

The polynomial is

 

f(n)  =  (1/4)n^4  + (1/2)n^3  + (1/4)n^2

 

 

cool cool cool

 Jul 6, 2021

12 Online Users