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Suppose that for some a,b,c we have \(a+b+c = 1\), \(ab+ac+bc = abc = -4\). What is \(a^3+b^3+c^3?\)

 May 11, 2021
 #1
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a^3 + b^3 + c^3 = 5.

 May 11, 2021
 #2
avatar+120287 
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a + b + c  =  1       cube  both  sides

 

a^3 + 3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 a b^2 + 6 a b c + 3 a c^2 + b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 + c^3  =  1

 

(a^3  + b^3  + c^3)   + 3a(ab) +  3a ( ac)   + 3b (ab)  + 3c (ac)  +  3b(bc) + 3c(bc) + 6abc  =  1

 

(a^3  + b^3 + c^3)  + 3a ( ab + ac)  + 3b( ab + bc)  + 3c(ac  + bc)  + 6abc  =  1

 

(a^3  + b^3 + c^3)  +  3a  ( -4 - bc)  +  3b  ( -4 - ac) + 3c ( -4 - ab)  + 6abc  =  1

 

(a^3  + b^3  + c^3)  - 12a  - 3abc  - 12b - 3abc  - 12c - 3abc  + 6abc  = 1

 

(a^3  + b^3  + c^3)  - 12 ( a + b + c)  - 9abc + 6abc   =  1

 

(a^3 + b^3  + c^3)  - 12 ( 1) -  3abc   =  1

 

(a^3 + b^3 + c^3)  - 12  - 3(-4)  = 1

 

(a^3 + b^3 + c^3)    = 1

 

 

cool cool cool

 May 11, 2021
edited by CPhill  May 11, 2021
 #3
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Correct CPhill!

Guest May 12, 2021

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