If the sum of three real numbers is $0$ and their product is $17$, then what is the sum of their cubes?

x + y + z  = 0   →-  -(x + y)  = z  →   z^3 =  - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)

xyz  = 17

xy [ -(x + y) ]  = 17

xy (x + y)  = -17  →  x^2y + xy^2  = -17  →  3x^2y + 3xy^2  = -51

So......

x^3  + y^3  +  [ z^3 ]

x^3  + y^3  +  [ -  ( x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) ]  =

-3x^2y - 3xy^2  =

-[ 3x^2y + 3xy^2]  =

- [-51]  =

51