Let f(x)=x^3+b's+c, where band c are integers. If f(5+sqrt(3))=0, determine b+c.

If  f(x)  =  x³ + bx + c                (This isn't the problem, but I don't understand the problem as written.)

If  f( 5 + sqrt(3) )  =  0,  determine  b + c.

 

Replace  5 + sqrt(3)  into  f(x)  =  x³ + bx + c     --->     f( 5 + sqrt(3) )  =  ( 5 + sqrt(3) )³ + b( 5 + sqrt(3) ) + c  =  0

Since  ( 5 + sqrt(3) )³   =  170 + 78sqrt(3)     --->                                      170 + 78sqrt(3) + 5b + sqrt(3)b + c  =  0

 

To have integer coefficients, the sqrt(3) terms must cancel, so create two smaller equations, one involving only the sqrt terms and other involving only the integer terms:

--->   170 + 5b + c  =  0     and     78sqrt(3) + sqrt(3)b  =  0

                                                                       sqrt(3)b  =  -78sqrt(3)

                                                                                 b  =  -78

 

If b = -78:     170 + 5b + c  =  0

                     170 + 5(-78) + c  =  0

                     170 - 390 + c  =  0

                            -220 + c  =  0

                                       c  =  220

 

b + c  =  -78 + 220  =  142