+0  
 
-1
9
1
avatar+1351 

Find the minimum value of 9^x - 2 \cdot 3^x + 1 over all real numbers x.

 Mar 20, 2024
 #1
avatar+128794 
+1

\( 9^x - 2 \cdot 3^x + 1 \)

 

Take the derivative and  set to 0

 

9^x ( ln 9)  - 2 * 3^x (ln 3)  = 0

 

9^x (ln 9)  - ( 3^x) ( 2ln3)  = 0

 

9^x * (ln 9)  - (ln 3^2) * 3^x  = 0

 

(ln 9)  ( 9^x - 3^x)   = 0

 

9^x  - 3^x   = 0

 

9^x   = 3^x

 

(3^2)^(x)  = 3^(x)        take the log of both sides

 

log (3)^(2x) = log(3)^x

 

(2x) log 3  =  x log 3

 

(log 3) (2x - x)  = 0

 

2x - x  = 0

 

x = 0

 

The min is

 

9^(0)  - 2* 3^(0)  + 1 = 

 

1  -  2  + 1 =    0

 

 

cool cool cool

 Mar 20, 2024

2 Online Users

avatar