We use cookies to personalise content and advertisements and to analyse access to our website. Furthermore, our partners for online advertising receive pseudonymised information about your use of our website. cookie policy and privacy policy.
 
+0  
 
0
73
8
avatar+526 

Please help

 Jun 27, 2019
 #1
avatar
+1

The GCD of the numerator and denominator are > 1 for 806 numbers between 1 and 2016 as follows:

 

a=1;p=0; c= a^2 - 9; d=a^2 - 4;f=gcd(c, d);e=if(gcd(c,d)>1, goto6, goto8);printa,", ", ;p=p+1;a++;if(a<=2016, goto2, 0);print" Total = ",p

 

2  3  7  8  12  13  17  18  22  23  27  28  32  33  37  38  42  43  47  48  52  53  57  58  62  63  67  68  72  73  77  78  82  83  87  88  92  93  97  98  102  103  107  108  112  113  117  118  122  123  127  128  132  133  137  138  142  143  147  148  152  153  157  158  162  163  167  168  172  173  177  178  182  183  187  188  192  193  197  198  202  203  207  208  212  213  217  218  222  223  227  228  232  233  237  238  242  243  247  248  252  253  257  258  262  263  267  268  272  273  277  278  282  283  287  288  292  293  297  298  302  303  307  308  312  313  317  318  322  323  327  328  332  333  337  338  342  343  347  348  352  353  357  358  362  363  367  368  372  373  377  378  382  383  387  388  392  393  397  398  402  403  407  408  412  413  417  418  422  423  427  428  432  433  437  438  442  443  447  448  452  453  457  458  462  463  467  468  472  473  477  478  482  483  487  488  492  493  497  498  502  503  507  508  512  513  517  518  522  523  527  528  532  533  537  538  542  543  547  548  552  553  557  558  562  563  567  568  572  573  577  578  582  583  587  588  592  593  597  598  602  603  607  608  612  613  617  618  622  623  627  628  632  633  637  638  642  643  647  648  652  653  657  658  662  663  667  668  672  673  677  678  682  683  687  688  692  693  697  698  702  703  707  708  712  713  717  718  722  723  727  728  732  733  737  738  742  743  747  748  752  753  757  758  762  763  767  768  772  773  777  778  782  783  787  788  792  793  797  798  802  803  807  808  812  813  817  818  822  823  827  828  832  833  837  838  842  843  847  848  852  853  857  858  862  863  867  868  872  873  877  878  882  883  887  888  892  893  897  898  902  903  907  908  912  913  917  918  922  923  927  928  932  933  937  938  942  943  947  948  952  953  957  958  962  963  967  968  972  973  977  978  982  983  987  988  992  993  997  998  1002  1003  1007  1008  1012  1013  1017  1018  1022  1023  1027  1028  1032  1033  1037  1038  1042  1043  1047  1048  1052  1053  1057  1058  1062  1063  1067  1068  1072  1073  1077  1078  1082  1083  1087  1088  1092  1093  1097  1098  1102  1103  1107  1108  1112  1113  1117  1118  1122  1123  1127  1128  1132  1133  1137  1138  1142  1143  1147  1148  1152  1153  1157  1158  1162  1163  1167  1168  1172  1173  1177  1178  1182  1183  1187  1188  1192  1193  1197  1198  1202  1203  1207  1208  1212  1213  1217  1218  1222  1223  1227  1228  1232  1233  1237  1238  1242  1243  1247  1248  1252  1253  1257  1258  1262  1263  1267  1268  1272  1273  1277  1278  1282  1283  1287  1288  1292  1293  1297  1298  1302  1303  1307  1308  1312  1313  1317  1318  1322  1323  1327  1328  1332  1333  1337  1338  1342  1343  1347  1348  1352  1353  1357  1358  1362  1363  1367  1368  1372  1373  1377  1378  1382  1383  1387  1388  1392  1393  1397  1398  1402  1403  1407  1408  1412  1413  1417  1418  1422  1423  1427  1428  1432  1433  1437  1438  1442  1443  1447  1448  1452  1453  1457  1458  1462  1463  1467  1468  1472  1473  1477  1478  1482  1483  1487  1488  1492  1493  1497  1498  1502  1503  1507  1508  1512  1513  1517  1518  1522  1523  1527  1528  1532  1533  1537  1538  1542  1543  1547  1548  1552  1553  1557  1558  1562  1563  1567  1568  1572  1573  1577  1578  1582  1583  1587  1588  1592  1593  1597  1598  1602  1603  1607  1608  1612  1613  1617  1618  1622  1623  1627  1628  1632  1633  1637  1638  1642  1643  1647  1648  1652  1653  1657  1658  1662  1663  1667  1668  1672  1673  1677  1678  1682  1683  1687  1688  1692  1693  1697  1698  1702  1703  1707  1708  1712  1713  1717  1718  1722  1723  1727  1728  1732  1733  1737  1738  1742  1743  1747  1748  1752  1753  1757  1758  1762  1763  1767  1768  1772  1773  1777  1778  1782  1783  1787  1788  1792  1793  1797  1798  1802  1803  1807  1808  1812  1813  1817  1818  1822  1823  1827  1828  1832  1833  1837  1838  1842  1843  1847  1848  1852  1853  1857  1858  1862  1863  1867  1868  1872  1873  1877  1878  1882  1883  1887  1888  1892  1893  1897  1898  1902  1903  1907  1908  1912  1913  1917  1918  1922  1923  1927  1928  1932  1933  1937  1938  1942  1943  1947  1948  1952  1953  1957  1958  1962  1963  1967  1968  1972  1973  1977  1978  1982  1983  1987  1988  1992  1993  1997  1998  2002  2003  2007  2008  2012  2013   Total =  806

 Jun 27, 2019
edited by Guest  Jun 27, 2019
 #2
avatar+10 
+2

:O how long did it take you to type that?

Questionasker  Jun 28, 2019
 #3
avatar+526 
+2

Ummmmmmmmmmmmmmmmmmmm...

 

This was a question on a 40 minute test with 30 questions, and I'm not exactly sure this would work in that time. But I really think you spent a lot of effort doing that and that's really great.

dgfgrafgdfge111  Jun 28, 2019
edited by dgfgrafgdfge111  Jun 28, 2019
 #4
avatar+102447 
+1

Sorry but your program is not working as intended.

if n=2, the numerator is -5 and the denominator is 0,  These do not have a GCF greater than 1.

Melody  Jul 3, 2019
 #6
avatar
0

See here:  https://www.wolframalpha.com/input/?i=GCF+%5B0,+-5%5D

Guest Jul 3, 2019
 #7
avatar+28 
+2

No, the GCF can't be 2, (even withstanding the zero on the bottom line), for whatever the value of n, if the top line is even the bottom line will be odd and if the bottom line is even then the top line will be odd.

 

Suppose that the GCF is k, and that

\(\displaystyle n^{2}-9=m_{1}k\dots \dots(1)\\ \text{and}\\ n^{2}-4=m_{2}k\dots \dots(2)\)

 

Subtracting (1) from (2),

\(\displaystyle 5=m_{2}k-m_{1}k=(m_{2}-m_{1})k,\)

so either 

\(\displaystyle m_{2}-m_{1}=5\text{ and }k=1, \text{ (which is of no interest)}\)

or

\(\displaystyle m_{2}-m_{1}=1\text{ and }k=5, \text{ (which is).}\)

 

If k = 5, then, from (1), \(\displaystyle 9+5m_{1} = n^{2}.\)

(Substitution into (2) leads to the same equation.)

Beginning with m1 = 1, the lhs side runs through the numbers, 14, 19, 24, 29, 34, 39, ...

so what we are looking for are squares with final digit 4 or 9.

The first one is 49, n = 7, and the next 64, n = 8.

After that, 144, n = 12, and then 169, n = 13.

Now that's interesting, in pairs 5 apart ......... .

Tiggsy  Jul 4, 2019
 #8
avatar+102447 
+1

Thanks Tiggsy    laugh

Melody  Jul 6, 2019
 #5
avatar+102447 
+1

I'd like to see someone answer this too.

 Jul 3, 2019

3 Online Users