+0  
 
0
53
1
avatar+79 

Part a:

Find polynomial f(n) such that for all integers \(n \geq 1\), we have

 

\(3\left( 1\cdot2 + 2\cdot3 + \ldots + n(n+1) \right) = f(n)\)

Write f(n) as a polynomial with terms in descending order of n.

 

Part b:

The closed form sum of

 

\(12 \left[ 1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + \ldots + n^2 (n+1) \right]\)

for \(n \geq 1\) is \(n(n+1)(n+2)(an+b)\) Find \(an + b.\)

 Apr 10, 2021
edited by StarsIsTheLimit  Apr 10, 2021
 #1
avatar+118665 
+1

First  one

 

The  successive  sums  are

 

                                    6 ,  24 ,  60 ,    120,  210

Sum of differences         18    36     60      90

                                            18    24     30

                                                 6        6

 

We  have   3   non-zero  row differences.......so  the polynomial will  be  of the  form

 

an^3  +  bn^2  + cn  + d     =  f(n)

 

We  can solve this system

 

a  +  b  +  c  +  d  =   6

8a  + 4b  + 2c +  d  =  24

27a + 9b + 3c + d  =  60

64a  + 16b + 4c + d = 120

 

The  solution is     a  =  1  b  = 3  c  =  2  and d  = 0

 

So  f(n)  =  n^3  + 3n^2   + 2n  

 

 

cool cool cool

 Apr 10, 2021

37 Online Users

avatar
avatar