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Find the number of pairs of integers (x,y) with \(0

\(\frac{1}{1-\frac{10}{x}} > 1 - \frac{5}{y}. \)

 Mar 22, 2020
edited by chclt363  Mar 22, 2020
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 #1
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I remember this one from awhile back......one  of our really good members   [hectictar ] showed  me the solution

 

I believe the problem is as follows  :

 

                    1                       5

 0   >         ________ > 1 -  ___

                   1   -10/x             y

 

 

                      1                              5                   

                  ________     >   1   -  ___

                   1 -10 / x                      y

 

 

                        x                           5

                    _______ - 1  >    -  _____

                      x -10                       y

 

                  

                        x  - (x -10)                5

                      __________   >    -    ___

                         x   - 10                    y

 

 

                           10                        5

                      _______   >     -    ______

                        x  -10                       y

 

 

      And we know  0 < x < 10  because that is the only way    1 / [ 1  -10/x ]  can be less than 0.   

 

     Since  x - 10  is negative, when we multiply both sides by it, we flip the sign.

 

                      10  <     -  5  ( x -10)

                                  ___________

                                           y

 

 

      And we know  0 < y < 5  because that is the only way that  1  -  5/y   can be less than 0  

 

So

 

Since  y  is positive, when we mult both sides by it, don't flip the sign.

 

10 y   <  - 5(x - 10)            this leads to

 

y  <   10 - x

       ________

            2

 

y  <   (-1/2)x  +  5

 

So

 

We  have  these three inequalities

 

 0 < x < 10

 0 < y <  5

y < (-1/2)x  + 5

 

 

And the  intersection of  these  forms the lower-left triangle area , here :

 

https://www.desmos.com/calculator/y1vjodjezc

 

I'll let you  find  the integer solutions in this area    ....

 

THANKS TO HECTICTAR FOR THIS SOLUTION   !!!!!

 

 

cool cool cool

 Mar 22, 2020

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