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Solve tan(2x) = sin(x) for 0 < x < pi/2.

 Jun 3, 2020
 #1
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tan(2x)  =  [ 2tan(x) ] / [ 1 - tan2(x) ]

 

Problem:  tan(2x)  =  sin(x)

--->   [ 2·tan(x) ] / [ 1 - tan2(x) ]  =  sin(x)

                                    2·tan(x)  =  sin(x)· [ 1 - tan2(x) ]

                        2·sin(x) / cos(x)  =  sin(x)· [ 1 - tan2(x) ]

                                  2 / cos(x)  =  1 - tan2(x)       ( divide both sides by sin(x); now you must check for sin(x) = 0 )

                                  2 / cos(x)  =  1 - sin2(x) / cos2(x)          ( replace tan with sin/cos )

                                    2·cos(x)  =  cos2(x) - sin2(x)              ( multiply both sides by cos2(x ))

                                    2·cos(x)  =  cos2(x) - ( 1 - cos2(x) )    ( sin2(x)  =  1 - cos2(x) )

                                    2·cos(x)  =  cos2(x) - 1 + cos2(x)

                                               0  =  2·cos2(x) - 2cos(x) - 1 

 

Quadratic formula:  cos(x)  =  [ 2 + sqrt(12) ] / 4     or  cos(x)  =  [ 2 + sqrt(12) ] / 4

 

So:  possible answers:  x = sin-1(0)     x  =  cos-1( [ 2 + sqrt(12) ] / 4 )     x  =  cos-1( [ 2 - sqrt(12) ] / 4 ) 

 

You'll need to check these to see which one or ones are correct solutions.

 Jun 3, 2020

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