How many arrangements of the numbers 1, 2, 3,....,7 are there where the sum of any two adjacent numbers is odd?
Without repetitions, there are:
1234567 , 1234765 , 1236547 , 1236745 , 1254367 , 1254763 , 1256347 , 1256743 , 1274365 , 1274563 , 1276345 , 1276543 , 1432567 , 1432765 , 1436527 , 1436725 , 1452367 , 1452763 , 1456327 , 1456723 , 1472365 , 1472563 , 1476325 , 1476523 , 1632547 , 1632745 , 1634527 , 1634725 , 1652347 , 1652743 , 1654327 , 1654723 , 1672345 , 1672543 , 1674325 , 1674523 , 3214567 , 3214765 , 3216547 , 3216745 , 3254167 , 3254761 , 3256147 , 3256741 , 3274165 , 3274561 , 3276145 , 3276541 , 3412567 , 3412765 , 3416527 , 3416725 , 3452167 , 3452761 , 3456127 , 3456721 , 3472165 , 3472561 , 3476125 , 3476521 , 3612547 , 3612745 , 3614527 , 3614725 , 3652147 , 3652741 , 3654127 , 3654721 , 3672145 , 3672541 , 3674125 , 3674521 , 5214367 , 5214763 , 5216347 , 5216743 , 5234167 , 5234761 , 5236147 , 5236741 , 5274163 , 5274361 , 5276143 , 5276341 , 5412367 , 5412763 , 5416327 , 5416723 , 5432167 , 5432761 , 5436127 , 5436721 , 5472163 , 5472361 , 5476123 , 5476321 , 5612347 , 5612743 , 5614327 , 5614723 , 5632147 , 5632741 , 5634127 , 5634721 , 5672143 , 5672341 , 5674123 , 5674321 , 7214365 , 7214563 , 7216345 , 7216543 , 7234165 , 7234561 , 7236145 , 7236541 , 7254163 , 7254361 , 7256143 , 7256341 , 7412365 , 7412563 , 7416325 , 7416523 , 7432165 , 7432561 , 7436125 , 7436521 , 7452163 , 7452361 , 7456123 , 7456321 , 7612345 , 7612543 , 7614325 , 7614523 , 7632145 , 7632541 , 7634125 , 7634521 , 7652143 , 7652341 , 7654123 , 7654321 , Total = 144 such numbers
+37153 position 1 2 3 4 5 6 7
possible choices 4 * 3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 = 144 possibles
