+0  
 
0
8
1
avatar+68 

Let A and B be the following matrices:

A rotates vectors by $\frac{\pi}{4}$ counterclockwise,

B is matrix \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calculate \[\mathbf{A}^{102} \mathbf{B}^{102} - \mathbf{B}^{102} \mathbf{A}^{102} \]
and enter it below.

 May 31, 2024
 #1
avatar+129741 
+1

A2  = [1/sqrt 2    -1/sqrt 2]    *   [  1/sqrt 2   -1/sqrt2 ]   =   [ 0  -1 ]

         [ 1/sqrt 2    1/sqrt 2]         [   1/sqrt 2   1/sqrt2]         [  1  0 ]

 

A4 = A2 * A2  =  [ 0 -1 ]  *  [ 0 -1 ]  =    [ -1  0 ]

                          [ 1 0 ]      [ 1 0  ]        [  0  -1]

 

A6 =  A4 * A2  =  [ -1 0 ]  * [ 0 -1]  =  [ 0  1 ]

                          [ 0  -1 ]    [ 1 0 ]      [ -1 0]

 

A12 = (A6)2  =   [ 0    1 ]

                           [ --1  0 ]

 

Note that   (A6)n  =  [ 0 1  ]          where n = 1,2,3,4.......

                                [ -1  0]

 

A102 = (A6)17  = [ 0 1 ]

                          [-1 0 ] 

 

B2  = [ 1 1  ]  *   [ 1 1  ]  = [ 1  2 ]

         [ 0   1 ]     [ 0  1]      [ 0  1]

 

B4  = [ 1 2 ]  * [ 1  2 ]  =   [1  4 ]

         [ 0  1]     [0  1 ]       [ 0  1]

 

B = B4 * B2  = [ 1 4 ]  *  [ 1 2 ]  =  [  1  6 ]

                         [ 0  1]      [ 0 1]       [   0  1]

 

Note that  B2n = [ 1  2n ]     where n =1,2,3,4.......

                          [ 0   1]

 

B102 = B2*51  = [ 1  2*51 ]  =  [  1   102 ]

                           [ 0    1  ]       [  0     1  ]

 

 

A102B102   =  [  0  1 ]  *  [ 1   102 ]  =    [ 0       1 ]

                      [ -1  0 ]    [  0     1  ]         [  -1 -102 ]

 

B102  A102 =  [ 1  102 ] *   [ 0 1  ]  =  [ -102   1 ] 

                     [ 0       1]      [ -1 0 ]      [  -1      0 ]

 

A102B102 - B102A102  =  [  102     0  ]

                                       [   0    -102 ] 

 

 

cool cool cool    

 May 31, 2024

3 Online Users

avatar