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What is minimum positive value of p so that the quadratic polynomial

\[ \dfrac34 x^2 - (2p+1)x  + p^2 +2 = 0 \]

has real roots?

 Jan 4, 2021
 #1
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To  have real roots,  the  discriminant  must  be  >=  to  0

 

Therefore

 

(2p+1)^2   - 4 ( 3/4) (p^2 + 2)   >= 0

 

4p^2  + 4p  + 1   -   3 (p^2 + 2)  > =   0

 

4p^2  + 4p  + 1   - 3p^2  -  6    >= 0

 

p^2 + 4p  -  5   >=  0        factor

 

(p + 5) ( p -1)  > =  0

 

Note  that this will be  true when   p  =  [ 1, inf)    or  when  p =   ( - inf,  -5  ]

 

p  = 1  is the  minimum  positive  value that will produce  real roots 

 

 

cool cool cool

 Jan 4, 2021

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