+0

# Solution Necessary, the solution I have makes no sense!

0
341
1

In triangle $$ABC, BC = 4, AC = 3\sqrt2,$$ and $$\angle C = 45^\circ.$$ Altitudes $$AD, BE,$$ and $$CF$$ intersect at the orthocenter $$H.$$ Find $$AH:HD$$

May 11, 2021

#1
+2

Let A  =(0, 0)   Let B  =(sqrt 10 , 0)

Using the Law of Cosines  we  can find  AB  as

AB^2  =  BC^2  + AC^2   -  2(BC * AC)  cos (C)

AB^2  =  16  +  18   -  2(4 * 3sqrt(2))  *  1  /sqrt (2)

AB^2  =  34  - 24

AB^2 = 10

AB  = sqrt (10)

Area  of  triangle   =(1/2) (4)(3sqrt 2) (1/sqrt 2)   =  6

Also   area of triangle   =  (1/2) BC  *  altitude  drawn  to  AB

Call  the altitude  drawn to AB   =  CF     ......so.....

6  = (1/2) sqrt (10) CF

CF  = 12/sqrt (10)

AD^2 =  AC^2  - CF^2

AD^2  =  18  -  144/10

AD  =  6 / sqrt 10

Equation of  CF  :   x = 6/sqrt 10

So  C =  ( 6/sqrt 10  ,  12/sqrt 10)

Slope of  AC  =  (  12/ sqrt 10 )  / ( 6 /sqrt 10)  =  12/6   =  2

Slope of line  perpendicular ro  AC  = -1/2

Equation of   perpendicular  line to  AC  :   y  = (-1/2)(x - sqrt 10)  =  -x/2 + sqrt (10) / 2

This line intersects  AF  at   :   y =  (-6/sqrt 10)/2  + sqrt (10)  / 2  =  sqrt (10)  / 5

So

H  =  ( 6/sqrt 10  , sqrt (10) / 5 )

Distance  from  A to H   =sqrt  [ 36/10  + 10/25 ]  = 2

Slope of  line  BC  =  (12/sqrt 10) / (6/sqrt 10  -  sqrt 10)   = -3

Equation of line  through  BC :   y  = -3( x - sqrt 10)  =  -3x + 3sqrt 10

Standard  form of this line

3x + y - 3sqrt 10  = 0

Distance  from  A  to   D   =

abs ( 3(0)  + 0  -3sqrt 10)  /  sqrt( 3^2 + 1^2)  =   3sqrt 10 / sqrt 10   =   3 =  AD

So

HD  =  AD  -  AH  =   3  - 2  =  1

So

AH : AD  =   2  : 1

See the image here  :    May 12, 2021