+0  
 
0
77
1
avatar

In triangle \(ABC, BC = 4, AC = 3\sqrt2,\) and \(\angle C = 45^\circ.\) Altitudes \(AD, BE,\) and \(CF\) intersect at the orthocenter \(H.\) Find \(AH:HD\)

 May 11, 2021
 #1
avatar+120287 
+2

Let A  =(0, 0)   Let B  =(sqrt 10 , 0)

 

Using the Law of Cosines  we  can find  AB  as

 

AB^2  =  BC^2  + AC^2   -  2(BC * AC)  cos (C)

 

AB^2  =  16  +  18   -  2(4 * 3sqrt(2))  *  1  /sqrt (2)

 

AB^2  =  34  - 24

 

AB^2 = 10

 

AB  = sqrt (10)

 

Area  of  triangle   =(1/2) (4)(3sqrt 2) (1/sqrt 2)   =  6

 

Also   area of triangle   =  (1/2) BC  *  altitude  drawn  to  AB

 

Call  the altitude  drawn to AB   =  CF     ......so.....

 

6  = (1/2) sqrt (10) CF

 

CF  = 12/sqrt (10)  

 

AD^2 =  AC^2  - CF^2

 

AD^2  =  18  -  144/10

 

AD^2  =  36/10

 

AD  =  6 / sqrt 10

 

Equation of  CF  :   x = 6/sqrt 10

 

So  C =  ( 6/sqrt 10  ,  12/sqrt 10)

 

Slope of  AC  =  (  12/ sqrt 10 )  / ( 6 /sqrt 10)  =  12/6   =  2

 

Slope of line  perpendicular ro  AC  = -1/2

 

Equation of   perpendicular  line to  AC  :   y  = (-1/2)(x - sqrt 10)  =  -x/2 + sqrt (10) / 2

 

This line intersects  AF  at   :   y =  (-6/sqrt 10)/2  + sqrt (10)  / 2  =  sqrt (10)  / 5

 

So

 

H  =  ( 6/sqrt 10  , sqrt (10) / 5 )

 

Distance  from  A to H   =sqrt  [ 36/10  + 10/25 ]  = 2

 

Slope of  line  BC  =  (12/sqrt 10) / (6/sqrt 10  -  sqrt 10)   = -3

 

Equation of line  through  BC :   y  = -3( x - sqrt 10)  =  -3x + 3sqrt 10

 

Standard  form of this line

 

3x + y - 3sqrt 10  = 0

 

Distance  from  A  to   D   =

 

abs ( 3(0)  + 0  -3sqrt 10)  /  sqrt( 3^2 + 1^2)  =   3sqrt 10 / sqrt 10   =   3 =  AD

 

So

 

HD  =  AD  -  AH  =   3  - 2  =  1

 

So

 

AH : AD  =   2  : 1

 

See the image here  :

 

 

 

cool cool cool

 May 12, 2021

18 Online Users

avatar
avatar