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x + y + xy = 19

y + z + yz = 29

z + x + zx = 5

 

If x, y, and z are positive real numbers satisfying the system above, then find x, y, and z.

 Mar 8, 2022
 #1
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x + y + xy = 19         (1)

y + z + yz = 29         (2)

z + x + zx = 5           (3)

 

Simplify (1)                                Simplify (3)

y ( x + 1) + x  = 19                    z ( x + 1) + x  =  5

y ( x + 1) = 19 - x                      z ( x + 1)  =  5  - x

y = (19- x) / ( x + 1)                   z =  ( 5 - x) / ( x + 1)

 

Sub these into  (2) for y,z

 

(19-x) / ( x + 1)  +   (5 -x) / (x + 1))  +   ( 19-x) ( 5 - x) / [ (x + 1)^2 ]  =  29     simplify

 

Multiply through by  ( x + 1)^2

 

(19 - x) (x + 1)  +  ( 5 - x) (x + 1)  + (19 - x) (5 -x)  = 29 [ (x + 1) ] ^2

 

-x^2 + 18x + 19  +  -x^2 + 4x + 5  +  95 - 24x + x^2  =   29 [ ( x + 1)^2 ]

 

-x^2 - 2x + 119  =    29x^2 + 58x + 29

 

30x^2 + 60x - 90   =  0              divide through by 30

 

x^2 + 2x - 3      =   0                  factor

 

(x + 3) ( x - 1)   = 0                since x,y,z are positive  then

 

x = 1

 

And

 

z = (5-1) / ( 1 + 1)  =     4 / 2  = 2

 

And

 

y = (19-1) / ( 1 + 1)  =  18 / 2   =  9

 

 

cool cool cool

 Mar 8, 2022
edited by CPhill  Mar 8, 2022
edited by CPhill  Mar 8, 2022

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