+0  
 
0
6
1
avatar+-5 

The quantity \(\tan(7.5^\circ)\)can be expressed in the form \(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c} - \sqrt{d}\) where  a,b,c  and d  are positive integers. Enter a+b, c+d  in that order.

 Mar 22, 2024
 #1
avatar+128794 
+1

tan (15°) =   [1 -cos 30 ] / sin 30  = [ 1 -sqrt (3)/2 ] / (1/2) ] =  [2 -sqrt (3)] / 1

 

sin (15°) =   [ 2 -sqrt 3 ] / sqrt [ 1^2  + (2 -sqrt 3)^2 ]   =  [2 -sqrt 3 ] /  sqrt [ 8 - 4sqrt 3]

 

cos (15°)  =  1 / sqrt [ 8 - 4sqrt 3]

 

tan (7.5°) =  [1 - cos 15 ] / sin 15  =  [ 1 - 1 / sqrt [8 - 4sqrt 3 ] ] / ( [ 2 -sqrt 3] / sqrt [ 8 -4sqrt 3] ) =

 

sqrt [ 8 -4sqrt 3 ] * [  1  - 1/ sqrt [ 8 -4sqrt 3] / [2 -sqrt 3]   =

 

(sqrt [ 8 - 4sqrt 3 ] [ sqrt [8 - 4sqrt 3 ] - 1 ] / sqrt [8 -4sqrt 3])  / [2 -sqrt 3]  =

 

(sqrt [ 8  -4sqrt 3 ] - 1)  /   [2 -sqrt 3 ]  =

 

[ sqrt [ 8 - 4sqrt 3] - 1 ] [ 2 + sqrt 3 ]  =    { sqrt [ 8 - 4sqrt 3 ]  = sqrt [( sqrt 6 - sqrt 2)^2] = sqrt 6 - sqrt 2 }

 

[(sqrt 6 - sqrt 2 )  -1 ] [ 2 + sqrt 3]  =

 

2sqrt 6 - 2sqrt 2 - 2 + sqrt 18 - sqrt 6 - sqrt 3   =

 

sqrt 6 - 2sqrt 2- 2 + 3sqrt 2 -sqrt 3 =

 

sqrt 6 + sqrt 2 - sqrt 3  - 2   =

 

sqrt (2)  + sqrt (6)  -sqrt (3)   - 2   =

 

sqrt (2) + sqrt (6) - sqrt (3)  - sqrt (4)

 

a + b =  8

c + d  =  7

 

 

cool cool cool

 Mar 22, 2024

5 Online Users

avatar
avatar
avatar
avatar
avatar