There are integers b, c for which both roots of the polynomial x^2-x-1 are also roots of the polynomial x^5-bx-c. Determine the product bc.

Find the integer values of b and c so that the polynomial  x² - x - 1  and the polynomial  x⁵ - bx - c have the same roots.

First:  find the roots of  x² - x - 1  =  0    

--->     Using the quadratic formula, the roots are  [ 1 + sqrt(5) ] / 2   and   [ 1 + sqrt(5) ] / 2.

Placing these values into the equation  x⁵ - bx - c  =  0,  we get:

x  =  [ 1 + sqrt(5) ] / 2   --->   ( [ 1 + sqrt(5) ] / 2 )⁵   -  b( [ 1 + sqrt(5) ] / 2 )  -  c  =  0

                                    --->    [ 176 + 80sqrt(5) ] / 32  -  ( [ 1 + sqrt(5) ] / 2 )b  -  c  =  0

    multiplying by 32     --->    176  +  80sqrt(5)  -  16b  -  16sqrt(5)b  -  32c  =  0

Using the same steps for x  =  [ 1 - sqrt(5) ] / 2 , we get:     176  -  80sqrt(5)  -  16b  +  16sqrt(5)b  -  32c  =  0 

Now, let's combine these two results:      176  +  80sqrt(5)  -  16b  -  16sqrt(5)b  -  32c  =  0

                                                                 176  -  80sqrt(5)  -  16b  +  16sqrt(5)b  -  32c  =  0 

Subtract the lower equation from the upper:      160sqrt(5)  -  32sqrt(5)b  =  0

     --->     160sqrt(5)  =  32sqrt(5)b     --->     b  =  5

Now, substitute this value for b into  176  +  80sqrt(5)  -  16b  -  16sqrt(5)b  -  32c  =  0

     --->                                          176  +  80sqrt(5)  -  16(5)  -  16sqrt(5)(5)  -  32c  =  0    

     --->                                                    176  +  80sqrt(5)   - 80  -  80sqrt(5)  - 32c  =  0

     --->                                                                                                      96  -  32c  =  0

     --->                                                                                                                   c  =  3                    

For the two equations to share roots, x^2 - x - 1 must divide into x^5 - bx - c leaving no remainder. Carry out the long division, and at the final stage, the expression under the division sign is found to be   3x^2 - (b - 2)x - c, implying that b = 5 and c = 3.

bc=15