+0  
 
0
4
105
1
avatar

Let f(x) be a differentiable function, defined for all real numbers x, with the following properties. Use all three properties to find f(x). Show work.

f'(x)=ax^2+bx

f'(1)=6 and f''(1)=18

2

\(\int\)f(x)dx=36

1

 

P.S. sorry for the poor formatting of the third property I'm not too tech savvy.

 Mar 12, 2021
 #1
avatar+118069 
+1

f '  ( x)   = ax^2  + bx

f ' (1)  = 6

a(1)^2  + b(1)  = 6

a  +  b   = 6   ⇒    b  =   6   - a       (1)

 

f " (x)  =  2ax  + b

f " (1)   =18

2a(1) + b  =18

2a  + b  = 18            (2)

 

Sub (1)  into  (2)  for  b

2a  + 6 - a   =  18

a  + 6  =  18

a  =  12

 

b  = 6 - 12   =   - 6

 

So

 

f'x)  =  12x^2  -  6x

 

f(x)  =  4x^3 - 3x^2  +  C

 

So

 

2

∫    4x^3  -  3x^2  +  C    dx  =  36

1

                            2

[  x^4 -  x^3  + Cx ]   =  36

                             1

 

[2^4  - 2^3  + 2C ]  -  [ 1^4 - 1^3  + C  ]   =  36

 

[ 16  - 8  + 2C ]  -  [ C]  =  36

 

8  + C  =  36

 

C  =  28

 

 

So

 

f(x)  =   4x^3  - 3x^2  + 28

 

 

 

cool cool cool

 Mar 12, 2021

27 Online Users

avatar
avatar
avatar
avatar