CPhill

Let  the first  term  =  6

Let  the  number  sold  on  the nth  day  be   8n

And  we  need  to  solve  this inequality

[  6 + 8n ]  *  ( n/ 2)   ≤  300

(3  +  4n)n  ≤  300

4n^2  + 3n  - 300 ≤  0

Let  n  = x  and see the  graph here  :  https://www.desmos.com/calculator/d24dtkqwy0

It shows  that he runs  out  after  about  8.3  days  

30 * .70  =  21  were  chocolate  chip,  9  were  chocolate

If the pct of chocolate milkshakes sold  dipped to 25%, then 75%  of the final totla must  be  chocolate chip

So

Let  x  be  the  nuber  of  additional  chocolate chip milkshakes  sold   and  we  have  that

[21  + x]   / [ 30 + x]  =  .75            cross-multiply

21 + x  =  .75  [ 30  + x]

21 + x  =  22.5 + .75x

x - .75x  =  22.5  -21

.25x  = 1.5

x  = 1.5  / .25  =     6 =   number of additional chocolate chip milkshakes sold

Proof :  30 +  6 =    36 in total were sold.....9  were chocolate....9 / 36  =  1/ 4  =  25%

Call the number of points  that  Hassan originally had, H

Call the number of points  that Vick  originally had = 2H

Assuming  the Vick scored  no more points, we  have  that

H + 36  =  2  (2H)     simplify

H + 36  =  4H

36  =  4H - H

36  = 3H

36 / 3   = H    = 12

Vick had  2(12)  =  24  points originally

Nice, Riemann!!!!

4 (12)  +  5(10)   =  48  + 50   =   98  books total

We  can use  the  Law  of Cosines

AC^2  =  AB^2  + BC^2  -  2(AB* BC) cos (ABC)

40^2  =  25^2  + 25^2  - 2( 25*25) cos (ABC)

cos ABC  =   [  ( 40^2    - 25^2  - 25^2 )   / ( - 2 * 25 *25)  ]

cos ABC  =  -  7/25

sin ABC  =  sqrt   (  1  -(-7/25)^2  )   =  sqrt  [ 625  - 49] / 25  =  sqrt  [ 576] / 25   =  24 / 25

N - 3   =  7a    ⇒   N  =   7a  + 3

N - 5  =   8b   ⇒    N  =   8b  + 5

N + 3  =  5c    ⇒   N  =   5c  -  3

7a  + 3   =  5c  - 3

5c - 7a   =   6    ⇒   c = ( 7a + 6)  /  5

5c - 3  =  8b + 5

5c - 8b  =  8   ⇒   c  =  ( 8b+ 8)  /  5

7a  +  6  =  8b + 8

7a  - 8b     =   2

a      b              N

6      5          not  possible                           

14   12        not possible                                 

22   19            157

Smallest  number of  candies in the  box = 157

x^2  -10x  + 4y^2  + 56y   =  k      complete  the square on  x and  y

x^2  - 10x + 25  +  4(y^2 + 14y + 49)  = k + 25  + 4*49

(x - 5)^2    +  4 ( y + 7)^2   =     k + 221                  

For  a non-degenrate ellipse, the right  side  must  be > 0  ....so.....  k  >  -221

So

a  = -221

Thanks , Alan  !!!!

x   is  supplemental  to  131

So

x + 131   =  180

Can you take  it from here  ???