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1. There are four positive integers a, b, c, and d such that \(4\cos(x)\cos(2x)\cos(4x) = \cos(ax) + \cos(bx) + \cos(cx) + \cos(dx)\)for all values of x. Find a, b, c, and d.

 

2. There are integers a, b, c, and d such that \(\tan (7.5^\circ) = \sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c} - \sqrt{d}\). Find a+b and c+d.

 

3. Find the value of \(\theta\), \(0^\circ \le \theta \le 90^\circ\), such that \(\cos( 5^\circ) = \sin (25^\circ) + \sin (\theta)\) in degrees, not radians. 

 

can someone help me? i've been stuck on these for quite a while for now and would appreciate some help!

 Feb 8, 2020
 #1
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1. You can write the expression as cos(2x) + cos(4x) + cos(6x) + cos(8x), so a + b + c + d = 2 + 4 + 6 + 8 = 20.

 Feb 8, 2020
 #2
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I'll try #!:

 

Using the formula:  cos(X) + cos(Y)  =  2·cos( (X + Y)/2 ) ·cos( (X -Y)/2 ):

 

Let  ax = 4x  and  bx  =  4x:  cos(ax) + cos(bx)  =  cos(4x) + cos(4x)   2 · cos( (4x + 4x)/2 ) · cos( (4x - 4x)/2 )

                                                                           =  2 · cos( 8x/2 ) · cos( 0/2 )

                                                                           =  2 · cos(4x) · cos(0)

                                                                           =  2 · cos(4x) · 1

                                                                           =  2 · cos(4x)

 

Let  cx = 3x  and  dx  =  1x:  cos(ax) + cos(bx)  =  cos(3x) + cos(x)   2 · cos( (3x + x)/2 ) · cos( (3x - x)/2 )

                                                                          =  2 · cos( 4x/2 ) · cos( 2x/2 )

                                                                          =  2 · cos(2x) · cos(x)

 

So we have:  2 · cos(4x) · 2 · cos(2x) · cos(x)  =  4 · cos(4x) · cos(2x) · cos(x)

 

Choose  cos(4x) + cos(4x) + cos(3x) + cos(1x)

 Feb 9, 2020
 #3
avatar+18779 
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In number 3, can you use a calculator?

If so:                               cos(5°)  =  sin(25°)  + sin(X)

                        cos(5°) - sin(25°)  =  sin(X)

Using inv(sin):

     --->        =  35°             

 Feb 9, 2020
 #4
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+4

Here's my attempt at #2:

 


 

I should note that only the first result (ie a=2, b=6, c=3, d=4) matches tan(7.5°).

 Feb 9, 2020
edited by Alan  Feb 9, 2020

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