Algebra

a - 1/a  = 1

a^2 - 1 = a

a^2 - a - 1  = 0

a^2 - a   = 1

a^2 - a + 1/4  =  1 + 1/4

(a -1/2)^2  =  5/4

a -1/2 =   sqrt (5) /2                and                             a  - 1/2 =  -sqrt (5) /2

a = [ 1 +sqrt (5)] /2                                                   a =  [ 1 -sqrt (5) ] / 2

a^2 =  [ 6 + 2sqrt 5] / 4                                            a^2  = [ 6 - 2sqrt 5 ] /4

a^2 = [3 + sqrt 5 ] / 2                                                a^2 =  [3 -sqrt 5 ] /2

a^3 = a^2 * a                                                           a^3 = a^2 * a                                  

a^3 = ( 3 + sqrt 5 )/2 * (1 + sqrt 5) /2 =                   a^3 = ( 3 -sqrt 5)/2 * (1 -sqrt 5) / 2  =

[ 8 + 4sqrt 5 )  / 4  =                                                 [ 8  - 4sqrt 5 ] / 4  =                                           

2 + sqrt 5                                                                2 - sqrt 5