Algebra

By  Vieta

u  +  v  =     -5/3             square both sides

u^2  + 2uv  + v^2   =  25/9     (1)

and

uv =    11/3        (2)

And

u/v  +  v/u   =     ( u^2  + v^2 )  /   uv         (3)

Using (1)  and (2)

u^2  + 2uv  + v^2  =  25/9

u^2  + 2 (11/3) + v^2  = 25/9

u^2  + v^2    =    25/9   -   2 (11/3)

u^2  + v^2  =   25/9  - 22/3

u^2 + v^2  =  25/9  - 66/9  =   -41/9

So    (3)  becomes

(-41 / 9)   / (11/3)   =     (  -41 /9 )  * ( 3  /11 )   =  (-41/11) ( 3/9)   = ( -41/11) (1/3)  = -41/33    =  u/v + v/u