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Compute the sum \(\displaystyle \frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{3^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \dots + \frac{1}{20^2 - 1}\)

 May 14, 2020
 #1
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       1                               1                       1                                          1

____________  +    ___________ +  ____________  + .........+  ______________    =

(2 + 1) (2 - 1)            (3 + 1) (3 -1)      (4 + 1) ( 4 -1)                      ( 20 + 1) (20 - 1)

 

By partial fractions we have    

 

          1                          A              B

____________   =    _____ +   _____ 

( n + 1) (n - 1)             n + 1        n - 1

 

 

1  =  A(n - 1) +    B( n + 1)

 

1  =   An - A  + Bn + B

 

1  =  (A + B)n + (B - A)

 

A + B  =0

-A + B = 1

 

2B = 1

B = 1/2

A = -1/2

 

So we  have  that

 

         1                                    1               1                      1

____________     =          _______  -  ________  =    ____  [     1/(n -1) - 1/( n+1)   ]  

(n + 1) ( n - 1)                     2(n -1)       2 ( n + 1)            2

 

 

So  we  have

 

 

(1/2)  [  (1/1 - 1/3)  +  (1/2 - 1/4)   +  ( 1/3 - 1/5)  +  ( 1/4 - 1/6)  + ( 1/5 - 1/7) +  .......+ (1/18 - 1/20) +  (1/19 - 1/21) ]

 

The terms in red will  "cancel"

 

We are left  with

 

(1/2)  ( 1  + 1/2 - 1/20 - 1/21)   = 

 

 (1/2)  ( 3/2  -  (1/20 + 1/21) )  =

 

(1/2)(3/2 - ( 41/420) ]  =

 

(1/2) ( 630 - 41) / 420  =

 

589 / 840

 

 

cool cool cool

 May 14, 2020

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