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# algebra

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Compute the sum $$\displaystyle \frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{3^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \dots + \frac{1}{20^2 - 1}$$

May 14, 2020

#1
+1

1                               1                       1                                          1

____________  +    ___________ +  ____________  + .........+  ______________    =

(2 + 1) (2 - 1)            (3 + 1) (3 -1)      (4 + 1) ( 4 -1)                      ( 20 + 1) (20 - 1)

By partial fractions we have

1                          A              B

____________   =    _____ +   _____

( n + 1) (n - 1)             n + 1        n - 1

1  =  A(n - 1) +    B( n + 1)

1  =   An - A  + Bn + B

1  =  (A + B)n + (B - A)

A + B  =0

-A + B = 1

2B = 1

B = 1/2

A = -1/2

So we  have  that

1                                    1               1                      1

____________     =          _______  -  ________  =    ____  [     1/(n -1) - 1/( n+1)   ]

(n + 1) ( n - 1)                     2(n -1)       2 ( n + 1)            2

So  we  have

(1/2)  [  (1/1 - 1/3)  +  (1/2 - 1/4)   +  ( 1/3 - 1/5)  +  ( 1/4 - 1/6)  + ( 1/5 - 1/7) +  .......+ (1/18 - 1/20) +  (1/19 - 1/21) ]

The terms in red will  "cancel"

We are left  with

(1/2)  ( 1  + 1/2 - 1/20 - 1/21)   =

(1/2)  ( 3/2  -  (1/20 + 1/21) )  =

(1/2)(3/2 - ( 41/420) ]  =

(1/2) ( 630 - 41) / 420  =

589 / 840   May 14, 2020