algebra

Solve:     log₂(x - 5)  =  log₄(x - 2) + 1

 

First, using the change-of-base formula, I'm going to write log₄(x - 2) as a base two log:

                 log₄(x - 2)  =  log₂(x - 2) / log₂(4)  =  log₂(x - 2) / 2  =  ½·log₂(x - 2)

 

 log₂(x - 5)  =  log₄(x - 2) + 1     --->      log₂(x - 5)  =  ½·log₂(x - 2) + 1

                                       log₂(x - 5) - ½·log₂(x - 2)  =  1

                                         log₂(x - 5) - log₂(x - 2)^½  =  1

                                           log₂[ (x - 5) / (x - 2)^½  ]  =  1

                                                       (x - 5) / (x - 2)^½  =  2

                                                                      (x - 5)  =  2·(x - 2)^½ 

squaring both sides:                           x² - 10x + 25  =  4(x - 2)

                                                           x² - 10x + 25  =  4x - 8

                                                           x² - 14x + 33  =  0

                                                           (x - 11)(x - 3)  =  0

                                                     either     x = 11    or     x = 3

 

If you check the possible answers, you'll see that 11 works but 3 doesn't.