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1
avatar+218 

Find the value of \(\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \dotsb}}}}.\)

 Apr 29, 2024
 #1
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+1

Let the continued fraction   =  x

 

So we have

 

x  =        1 

        ______

        1 +  1 

             ____                      simplify

             4 + x

 

x =     1

      ________

      [4 + x + 1]

    __________

          [ 4 + x  ]

 

x =  [ x + 4 ]  /  [ x + 5]

 

x^2 + 5x  = x + 4

 

x^2   + 4x  =   4

 

x^2 + 4x + 4  =  4 + 4

 

(x +2)^2  =   8        take the positive root

 

x + 2 = 2sqrt (2)

 

x = 2sqrt 2 - 2  =  2 ( sqrt 2  - 1)

 

 

cool cool cool

 Apr 29, 2024

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