Algebra

Let the continued fraction   =  x

So we have

x  =        1 

        ______

        1 +  1 

             ____                      simplify

             4 + x

x =     1

      ________

      [4 + x + 1]

    __________

          [ 4 + x  ]

x =  [ x + 4 ]  /  [ x + 5]

x^2 + 5x  = x + 4

x^2   + 4x  =   4

x^2 + 4x + 4  =  4 + 4

(x +2)^2  =   8        take the positive root

x + 2 = 2sqrt (2)

x = 2sqrt 2 - 2  =  2 ( sqrt 2  - 1)