+0  
 
+1
4
1
avatar+218 

Let \(f(x) = \sqrt{x - \sqrt{x - \sqrt{x - \sqrt{x - \dotsb}}}}.\)Find the largest three-digit value of \(x\) such that \(f(x)\) is an integer.

 Apr 29, 2024
 #1
avatar+128772 
+1

Here's my best attempt

 

Let f(x)    =  y

 

And notice that we can write

 

y =  √ [ x - y ]                square both sides

 

y^2  =  x  - y

 

y^2 + y  =  x                  coplete the square on y

 

y^2 + y + 1/4 =   x + 1/4

 

(y + 1/2)^2  =  [ 4x + 1]  / 4          take the positive root

 

y + 1/2 =  √[4x + 1 ]  / 2

 

y =  ( √  [ 4x + 1 ] - 1  )   /  2

 

Let  x =  (n) (n + 1)

 

When    n           (n) (n+1)  = x              and y

= 1                            =   2                       =  1

= 2                            =   6                       =  2

= 3                           =   12                      =  3

....

= 31                        = 992                       = 31   

 

The largest  three-digit value for x = 992  and this produces  y = f(x)  =   31       

 

cool cool cool

 Apr 30, 2024
edited by CPhill  Apr 30, 2024

5 Online Users

avatar
avatar
avatar
avatar