+0  
 
0
241
1
avatar

Let x, y, and z be nonzero real numbers such that xy + xz + yz = 0 and x + y + z \( \neq\) 0. Find all possible values of \(\frac{1}{x^2 - yz} + \frac{1}{y^2 - xz} + \frac{1}{z^2 - xy}.\)

 Sep 16, 2019
 #1
avatar+106535 
+1

xy + xz + yz   = 0         (1)

yz = -(xy + xz)   ⇒    -yz  = +xy + xz        (2)

xz = - (xy + yz)   ⇒   -xz =  + xy + yz        (3)

xy = - (xz + yz)    ⇒   -xy =  + xz + yz       (4)

 

 1                          1                              1

______ +         ________      +         ________    =   

x^2-yz              y^2 - xz                     z^2 - xy

 

 [ sub in (2), (3) and (4)  in the denominators ]

 

         1                         1                                   1

___________  +  _____________  +     _____________   =

x^2 + xy + xz       y^2  + xy + yz                  z^2  + xz + yz

 

 

   1                              1                               1

__________   +      ___________   +   _____________   =

x ( x + y + z)            y ( x + y + z)              z(x + y + z)

 

 

       yz                                   xz                                xy

____________     +          ____________   +     ____________      =

xyz(x + y + z)                    xyz(x + y + z)              xyz ( x+ y + z)

 

 

( xy   +  xz   + yz  )

________________    =         

   xyz ( x + y + z)

 

 

sub in (1)  for the numerator

 

 

      (   0   )

______________     =           0

  xyz ( x + y + z)

 

 

cool cool cool

 Sep 17, 2019

10 Online Users