We use cookies to personalise content and advertisements and to analyse access to our website. Furthermore, our partners for online advertising receive pseudonymised information about your use of our website. cookie policy and privacy policy.
 
+0  
 
0
127
1
avatar

Let x, y, and z be nonzero real numbers such that xy + xz + yz = 0 and x + y + z \( \neq\) 0. Find all possible values of \(\frac{1}{x^2 - yz} + \frac{1}{y^2 - xz} + \frac{1}{z^2 - xy}.\)

 Sep 16, 2019
 #1
avatar+104871 
+1

xy + xz + yz   = 0         (1)

yz = -(xy + xz)   ⇒    -yz  = +xy + xz        (2)

xz = - (xy + yz)   ⇒   -xz =  + xy + yz        (3)

xy = - (xz + yz)    ⇒   -xy =  + xz + yz       (4)

 

 1                          1                              1

______ +         ________      +         ________    =   

x^2-yz              y^2 - xz                     z^2 - xy

 

 [ sub in (2), (3) and (4)  in the denominators ]

 

         1                         1                                   1

___________  +  _____________  +     _____________   =

x^2 + xy + xz       y^2  + xy + yz                  z^2  + xz + yz

 

 

   1                              1                               1

__________   +      ___________   +   _____________   =

x ( x + y + z)            y ( x + y + z)              z(x + y + z)

 

 

       yz                                   xz                                xy

____________     +          ____________   +     ____________      =

xyz(x + y + z)                    xyz(x + y + z)              xyz ( x+ y + z)

 

 

( xy   +  xz   + yz  )

________________    =         

   xyz ( x + y + z)

 

 

sub in (1)  for the numerator

 

 

      (   0   )

______________     =           0

  xyz ( x + y + z)

 

 

cool cool cool

 Sep 17, 2019

32 Online Users

avatar
avatar
avatar
avatar