Clever Algebraic Manipulations

a^3  + b^3   =  42

Note  that  this  factors  as

(a + b)  (a^2  - ab + b^2)   =  42

(  7)   (a^2  - ab + b^2)  =  42             divide both sides  by 7

a^2  - ab  + b^2  =   6            (1)

a + b = 7

square both sides

a^2  + 2ab + b^2  =  49        (2)

Subtract  (1)  from (2)

3ab  =  43

ab = 43/3

And

1/a  +  1/b   =

( b + a)  / ab   =    ( a + b)  / ab  =     7 /  (43 /  3)  =    7 * 3   /  43  =    21  / 43