If a, b, and c are non-negative integers less than 7 such that a+2b+3c=0(mod 7), 2a+3b+c=4(mod 7), 3a+b+2c=4 (mod 7) then determine the remainder when abc is divided by 7.
hmmm, a+b+c+(b+2c) and a+b+c+(a+2b) and a+b+c+(b+2c)
a=1;p=0; b=1;c=1;n= (a+2*b+3*c)%7;m=(2*a+3*b+c)%7;k=(3*a+b+2*c)%7;if(n==0 and m==4 and k==4, goto loop, goto next);loop:p=p+1;printp," =",a,b,c;next:a++;if(a<15, goto4,0);a=1;b++;if(b<15, goto4, 0);a=1;b=1;c++;if(c<15, goto4,0)
a=1, b=2, c=3, and abc mod 7 =(1*2*3) mod 7 =6
+118667 I did this using Matrices:
\(a+2b+3c=0\mod7\\ 2a+3b+c=4\mod7\\ 3a+b+2c=4\mod7\\ \)
\(\begin{bmatrix} 1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\ 2&& 3 && 1&&|&& 4\;(mod7)\\ 3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\ \end{bmatrix} \\~\\~\\ \begin{bmatrix} 2 && 4&& 6&&|&& 0\;(mod7)\\ 2&& 3 && 1&&|&& 4\;(mod7)\\ 3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\ \end{bmatrix} \\~\\~\\ \begin{bmatrix} 3 && 6&& 9&&|&& 0\;(mod7)\\ 0&& -1 && -5&&|&& 4\;(mod7)\\ 3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\ \end{bmatrix} \\~\\~\\ \begin{bmatrix} 1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\ 0&& -1 && -5&&|&& 4\;(mod7)\\ 0 && -5&&-7 &&|&& 4\;(mod7)\\ \end{bmatrix} \\~\\~\\ \begin{bmatrix} 1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\ 0&& 1 && 5&&|&& -4\;(mod7)\\ 0 && 0&& 18 &&|&& -16\;(mod7)\\ \end{bmatrix} \\~\\~\\ \begin{bmatrix} 1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\ 0&& 1 && 5&&|&& -4\;(mod7)\\ 0 && 0&& 4 &&|&& -2\;(mod7)\\ \end{bmatrix}\)
\(4c=-2\mod7\\ 4c=5\;\;\mod7\\ 4c=5+7\mod7\\ 4c=12\;\;\mod7\\ c=3\\~\\ b+5c=-4\mod7\\ b+15=-4\mod7\\ b=-19\mod7\\ b=-21+2\mod7\\ b=2\\~\\ a+2b+3c=0\mod7\\ a+4+9=0\mod7\\ a=-13\mod7\\ a=-14+1\mod7\\ a=1 \)
a=1, b=2, c=3
Under here is not supposed to display, (except as LaTex coding.)
For some reason, it keeps rendering.......
LaTex:
a+2b+3c=0\mod7\\
2a+3b+c=4\mod7\\
3a+b+2c=4\mod7\\
\begin{bmatrix}
1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\
2&& 3 && 1&&|&& 4\;(mod7)\\
3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\
\end{bmatrix}
\\~\\~\\
\begin{bmatrix}
2 && 4&& 6&&|&& 0\;(mod7)\\
2&& 3 && 1&&|&& 4\;(mod7)\\
3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\
\end{bmatrix}
\\~\\~\\
\begin{bmatrix}
3 && 6&& 9&&|&& 0\;(mod7)\\
0&& -1 && -5&&|&& 4\;(mod7)\\
3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\
\end{bmatrix}
\\~\\~\\
\begin{bmatrix}
1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\
0&& -1 && -5&&|&& 4\;(mod7)\\
0 && -5&&-7 &&|&& 4\;(mod7)\\
\end{bmatrix}
\\~\\~\\
\begin{bmatrix}
1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\
0&& 1 && 5&&|&& -4\;(mod7)\\
0 && 0&& 18 &&|&& -16\;(mod7)\\
\end{bmatrix}
\\~\\~\\
\begin{bmatrix}
1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\
0&& 1 && 5&&|&& -4\;(mod7)\\
0 && 0&& 4 &&|&& -2\;(mod7)\\
\end{bmatrix}
4c=-2\mod7\\
4c=5\;\;\mod7\\
4c=5+7\mod7\\
4c=12\;\;\mod7\\
c=3\\~\\
b+5c=-4\mod7\\
b+15=-4\mod7\\
b=-19\mod7\\
b=-21+2\mod7\\
b=2\\~\\
a+2b+3c=0\mod7\\
a+4+9=0\mod7\\
a=-13\mod7\\
a=-14+1\mod7\\
a=1
