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If  a, b, and c are non-negative integers less than 7 such that a+2b+3c=0(mod 7), 2a+3b+c=4(mod 7), 3a+b+2c=4 (mod 7) then determine the remainder when abc is divided by 7.

 

 

hmmm, a+b+c+(b+2c) and a+b+c+(a+2b) and a+b+c+(b+2c)

 Aug 27, 2020
 #1
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+1

a=1;p=0; b=1;c=1;n= (a+2*b+3*c)%7;m=(2*a+3*b+c)%7;k=(3*a+b+2*c)%7;if(n==0 and m==4 and k==4, goto loop, goto next);loop:p=p+1;printp," =",a,b,c;next:a++;if(a<15, goto4,0);a=1;b++;if(b<15, goto4, 0);a=1;b=1;c++;if(c<15, goto4,0)

 

a=1,  b=2,  c=3,  and abc mod 7 =(1*2*3) mod 7 =6

 Aug 27, 2020
 #2
avatar+110667 
+2

I did this using Matrices:

 

\(a+2b+3c=0\mod7\\ 2a+3b+c=4\mod7\\ 3a+b+2c=4\mod7\\ \)

 

\(\begin{bmatrix} 1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\ 2&& 3 && 1&&|&& 4\;(mod7)\\ 3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\ \end{bmatrix} \\~\\~\\ \begin{bmatrix} 2 && 4&& 6&&|&& 0\;(mod7)\\ 2&& 3 && 1&&|&& 4\;(mod7)\\ 3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\ \end{bmatrix} \\~\\~\\ \begin{bmatrix} 3 && 6&& 9&&|&& 0\;(mod7)\\ 0&& -1 && -5&&|&& 4\;(mod7)\\ 3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\ \end{bmatrix} \\~\\~\\ \begin{bmatrix} 1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\ 0&& -1 && -5&&|&& 4\;(mod7)\\ 0 && -5&&-7 &&|&& 4\;(mod7)\\ \end{bmatrix} \\~\\~\\ \begin{bmatrix} 1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\ 0&& 1 && 5&&|&& -4\;(mod7)\\ 0 && 0&& 18 &&|&& -16\;(mod7)\\ \end{bmatrix} \\~\\~\\ \begin{bmatrix} 1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\ 0&& 1 && 5&&|&& -4\;(mod7)\\ 0 && 0&& 4 &&|&& -2\;(mod7)\\ \end{bmatrix}\)

 

 

\(4c=-2\mod7\\ 4c=5\;\;\mod7\\ 4c=5+7\mod7\\ 4c=12\;\;\mod7\\ c=3\\~\\ b+5c=-4\mod7\\ b+15=-4\mod7\\ b=-19\mod7\\ b=-21+2\mod7\\ b=2\\~\\ a+2b+3c=0\mod7\\ a+4+9=0\mod7\\ a=-13\mod7\\ a=-14+1\mod7\\ a=1 \)

 

a=1,  b=2,  c=3

 

 

 

 

Under here is not supposed to display, (except as LaTex coding.)

For some reason, it keeps rendering.......

LaTex:

a+2b+3c=0\mod7\\
2a+3b+c=4\mod7\\
3a+b+2c=4\mod7\\

 

\begin{bmatrix}
1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\
2&& 3 &&  1&&|&& 4\;(mod7)\\
3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\
\end{bmatrix}
\\~\\~\\
\begin{bmatrix}
2 && 4&& 6&&|&& 0\;(mod7)\\
2&& 3 &&  1&&|&& 4\;(mod7)\\
3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\
\end{bmatrix}

\\~\\~\\
\begin{bmatrix}
3 && 6&& 9&&|&& 0\;(mod7)\\
0&& -1 &&  -5&&|&& 4\;(mod7)\\
3 && 1&& 2 &&|&& 4\;(mod7)\\
\end{bmatrix}

\\~\\~\\
\begin{bmatrix}
1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\
0&& -1 &&  -5&&|&& 4\;(mod7)\\
0 && -5&&-7 &&|&& 4\;(mod7)\\
\end{bmatrix}

\\~\\~\\
\begin{bmatrix}
1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\
0&& 1 &&  5&&|&& -4\;(mod7)\\
0 && 0&& 18 &&|&& -16\;(mod7)\\
\end{bmatrix}

\\~\\~\\
\begin{bmatrix}
1 && 2&& 3&&|&& 0\;(mod7)\\
0&& 1 &&  5&&|&& -4\;(mod7)\\
0 && 0&& 4 &&|&& -2\;(mod7)\\
\end{bmatrix}

 

4c=-2\mod7\\
4c=5\;\;\mod7\\
4c=5+7\mod7\\
4c=12\;\;\mod7\\
c=3\\~\\
b+5c=-4\mod7\\
b+15=-4\mod7\\
b=-19\mod7\\
b=-21+2\mod7\\
b=2\\~\\
a+2b+3c=0\mod7\\
a+4+9=0\mod7\\
a=-13\mod7\\
a=-14+1\mod7\\
a=1

 Aug 29, 2020
edited by Melody  Aug 29, 2020

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