cos 2x + 4 cosx + 1 = 0

$x = \pi k  - \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

cos 2x   =   2cos^2x  -  1

So

2cos^2x  - 1   +  4cos x  + 1   =   0

2cos^2 x  +  4cos x   =   0

cos^2x  +  2cos x   =   0

cos x  (  cos x + 2)   =  0

Setting each  factor  to  0  and solving for  x

cos x  =  0                                                                   cos x  +  2   =   0      

x = pi/2  + k *pi     where  k is  an integer                    cos x =  -2        no  solution for  x