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avatar+500 

In the equation $\frac{1}{j} + \frac{1}{k} = \frac{1}{3}$, both $j$ and $k$ are positive integers. What is the sum of all possible values for $k$?

 Apr 16, 2021
 #1
avatar+121003 
+2

1/j  + 1/k   =  1/3

 

Let  3  =  z

 

j and  k  must  be >  3

 

So

 

Let   j  =  z + m      and   k =   z  +  n

 

So  we  have

 

1/ ( z + m)  +  1/ ( z + n)  =  1/z

 

(z +n  + z + m)            1

____________  =     ____                 cross-multiply

(z + m) (z + n)             z

 

 

(m + n + 2z) z  =    (z + m) (z + n)

 

2z^2  + zm + zn  =  z^2  + zm + zn  +  mn

 

z^2    =   mn

 

3^2 =  mn

 

9  = mn

 

Either   m  =  9  and  n =  1   or    m = 1  and  n = 9

 

If  m  =  9  then   j = z + m  ⇒  j = 3 + 9   =  12

And n  = 1  then k = z + n  ⇒  k  = 3 + 1  =  4

 

So  (j, k)  =  ( 12, 4)  or  (4, 12)

 

So....sum of  all k's  =   12 + 4   =  16 

 

cool cool cool

 Apr 16, 2021
 #2
avatar+33689 
+1

I wonder if they can BOTH be 6 ?

ElectricPavlov  Apr 16, 2021
 #3
avatar+121003 
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I took it  that  j   and k are  different integers....however....if  they can be  the  same, then you are correct , EP

 

The  sum of all  possible k's would then be   12 + 4 + 6   =  22

 

 

 

cool cool cool

CPhill  Apr 16, 2021

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