Find the range of the function \[m(x) = \sqrt{x + 5} + \sqrt{20 - x}.\]

x  has  these restrictions

-5 ≤ x  ≤ 20

When  x   = -5    m(x)  =  5

When  x  =  20   m (x) =   5 

So....this  function  must  have  a max  between   x  = -5  and  x = 20

To find  the  x  value that maximizes this  function....we can use Calculus

m ' (x)   =      (1/2)                  (1/2)

                ___________  +   ____________

                 (x + 5)^(1/2)         (20 - x)^(1/2)

Set  this to  0   and solve for  x

       1                      1

___________ +   __________     =      0

(x + 5)^(1/2)         (20 - x)^(1/2)

      1                            - 1

___________   =     ___________      square both sides 

  ( x + 5)^(1/2)          (20 - x)^(1/2)

       1                    1

_______  =      ______       cross- multiply

   (x + 5)           (20 -x)

20 - x  =  x +  5

15  = 2x

7.5  =  x        this x maximizes the  function

So  when  x  =7.5  we can fnd  y  as

(7.5 + 5)^(1/2)  + ( 20 - 7.5)^(1/2)   =

(12.5)^(1/2)  + (12.5)^(1/2)  =

2 ( 12.5)^(1/2)    =

2  (  25/2)^(1/2)  =

2 *  5   / √2  =

5√2  

So  the range   is    [ 5 , 5√2 ]