+0  
 
+1
53
1
avatar

\[\begin{cases} g(x) = x^2 - 11x + 30 \\ g(f(x)) = x^4 - 14x^3 + 62x^2   - 91x + 42 \end{cases}\]


Let \(g\) and \(f\) be the monic polynomial functions that satisfy the system above. What is the value of \(f(7)\)?

 Jan 20, 2021
 #1
avatar+116126 
+1

f(x)  must be  a  quadratic just like  g(x)

 

So

 

(ax^2  + bx + c)^2  -  11(ax^2 + bx + c)   +  30   =

 

 

a^2 x^4 + 2 a b x^3 + 2 a c x^2 + b^2 x^2 + 2 b c x + c^2  -  11ax^2  - 11bx  - 11c   + 30

 

a must   =1

 

And     

2ab  must  = 2(1)b  = -14     ⇒  b   =   -7

 

And

(2ac + b^2  - 11a)  = 62

2c + 49 - 11   =  62

2c + 38  = 62

2c  = 24

c  =12

 

Check

2bc -11b   = -91  ???                 c^2  - 11c  +  30  = 42  ???

2(-7)(12)  -11(-7)                       12^2  - 11(12)  + 30  =

-168  + 77                                  144 - 132  +  30  =

-91                                                    42

 

 

So 

 f(x)  = x^2  - 7x  + 12

 

And 

f(7)  = 7^2  - 7(7)  + 12    =   12

 

 

cool cool cool

 Jan 20, 2021

81 Online Users

avatar
avatar
avatar
avatar