Geometry

\(\sin 4A = \sin A + \sin 2A\)     Find acute angle A.

\( \sin 4A=8\sin A\cos^3 A-4\sin A\cos A\\ \cos^3 A=\\ \sin 2A=2\sin A\cos A\\ 8\sin A\cos^3 A-4\sin A\cos A=\sin A+2\sin A\cos A\)

will be continued

 !

\( \sin 4A = \sin A + \sin 2A \)

sin ( 2(2A))  = sin A + sin 2A

2sin2Acos2A  = sinA + sin2A

2sin2A ( 1 - 2sin^2A)  = sinA + sin2A

2sin2A  - 4sin2A(sin^2A) = sinA + sin2A

sin(2A) - 4sin(2A)* (sin^2( A))  = sin(A)

2sinAcosA - 8sinAcosA (sin^2A) = sinA

sinA [ 2cosA - 8cosA (1 -cos^2A) ] - 1 =  0

sinA  = 0     A =  0”

2cosA - 8cosA (1 -cos^2 A) = 1

2cosA - 8cosA + 8cos^3A - 1 = 0

8cos^3 A - 6cosA - 1 =  0

Let  A  = x

8x^3 - 6x - 1   =  0

Using WolframAlpha to solve this  cubic   gives  x ≈  .93969

cos A  =.93969

arccos (.93969)  = A  =  20°