hard algebra

To make the reading simpler, let  x  =  ( sqrt(3) + sqrt(2) )   --->   a  =  x^-3

and                                         let  y  =  ( sqrt(3) - sqrt(2) )   --->   b  =  y^-3

 

This means that  x · y  =  ( sqrt(3) + sqrt(2) ) · ( sqrt(3) - sqrt(2) )  =  3 - 2  =  1

      and  x³y³  =  ( xy )³  =  ( 1 ) =  1

 

1 / (a + 1)  =  1 / ( x^-3 + 1 )  =  x³ / ( 1 + x³ )                (multiplying both the numerator and denominator by x³)

 

1 / (b + 1)  =  1 / ( y^-3 + 1 )  =  y³ / ( 1 + y³ )                (multiplying both the numerator and denominator by y³)

 

1 / (a + 1)  +  1 / (b + 1)  =  x³ / ( 1 + x³ )   +   y³ / ( 1 + y³ ) 

 

using the common denominator of  ( 1 + x³ ) · ( 1 + y³ ) :

                                       =  { [ x³( 1 + y³ ) ] + [ y³( 1 + x³ ) ] }  /  [ ( 1 + x³ )( 1 + y³ ) ]

 

multiplying out both the numberator and denominator:

                                             [ x³ + x³y³ + y³ + x³y³ ] / [ 1 + x³ + y³ + x³y³ ]

 

since x³y³  =  1:                   [ x³ + y³ + 2 ] / [ x³ + y³ + 2 ]  =  1.