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Let \(n\) and \(k\) be positive integers such that\(\binom{n}{k}:\binom{n}{k + 1} = 4:11.\)
Find the smallest possible value of \(n\).

 Mar 27, 2020
 #1
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+1

We can simplify this as

 

  n!                     ( n - [k + 1])! (k + 1)!

_______   *       ________________       rearrange  as

(n - k!) k!                   n!

 

 

(n - k - 1) !          (k +1)!                    k  + 1           

________  *      ______    =            _____  

    (n - k)!              k!                          n  -  k

 

 

 

And we know that

 

          k+ 1           4

        ____  =   ____        cross-multiply  

         n - k         11

 

 

11(k + 1)  =  4 ( n - k)

 

11k + 11 = 4n - 4k

 

15 k  =  4n  - 11

 

15k + 11

_______   =  n

     4

 

n will be  smallest    when  k =  3

 

So n  =  14

 

Proof

 

C ( 14, 3)          364            4

________  =    ____   =    ___

C ( 14, 4)         1001          11

 

 

 

cool cool cool

 Mar 27, 2020
 #2
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+1

thanks so much, really appreciate it :)

 Mar 27, 2020
 #3
avatar+24995 
+1

Let \(n\) and \(k\) be positive integers such that \(\dbinom{n}{k}:\dbinom{n}{k + 1} = 4:11\). Find the smallest possible value of \(n\).

 

See here: https://web2.0calc.com/questions/help_7014#r2

 

 

laugh

 Mar 27, 2020

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