+0

0
110
1

Define a sequence recursively by \(F_{0}=0,~F_{1}=1\) and \(F_{n}\) be the remainder when \(F_{n-1}+F_{n-2}\) is divided by \(3\) for all \(n\geq 2\)  Thus the sequence starts \(0,1,1,2,0,2,\ldots \) What is \(F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}?\)

Mar 10, 2020

#1
+4

Let's see if  any pattern "falls out"

[0 + 1 ] / 3    =   1    =      F(2)

[ 1 + 1]  / 3    =  2   =       F(3)

[ 1 + 2 ]  / 3    = 0   =       F(4)

[ 2 + 0 ] / 3     = 2   =       F(5)

[ 0 + 2 ] / 3     = 2   =       F(6)

[ 2 + 2] / 3     =  1   =       F(7)

[ 2+ 1 ] / 3      = 0   =       F(8)

[ 1 + 0 ] / 3    =  1    =      F(9)

[ 0  + 1]  / 3  =   1    =      F(10)

[ 1  + 1] / 3 =     2   =       F(11)

[ 1 + 2 ]  / 3  =   0    =      F(12)

[ 2 + 0 ] / 3   =   2     =     F(13)

[ 0 + 2]  / 3   =   2    =      F(14)

[2 + 2 ] / 3    =   1    =      F(15)

[ 2  + 1] / 3   =  0    =       F(16)

[ 1 + 0] / 3  =    1  =         F(17)

Note  that  the pattern  has  a  cycle of  8

And  the cycle  starts at  the indexes   2 , 10  , 18,  26  ...etc.

So  the pattern begins  repeats  for  every [-6 + 8n ] th   index  number

And  note  that

-6 + 8(253)  =  2018

So  this means that

F(2018)    begins the  253nd  cycle

So  this  must  mean  that

F(2017)   =   1    [  the last remainder  in the  252nd cycle ]

F(2018)   =   1

F(2019)   =   2

F(2020)   =   0

F(2021)    =  2

F(2022)   =   2

F(2023)   =   1

F(2024)   =   0

And  the  sum of these remainders    =   9   Mar 10, 2020
edited by CPhill  Mar 10, 2020