+0  
 
0
45
1
avatar

\[ \begin{cases}
x+\sqrt y = 27 \\ y +\sqrt x = 9 \end{cases} \]

Given that \(x\) and \(y\) are positive integers satisfying the system of equations above, find \(x+y\).

 Jan 22, 2021
 #1
avatar+116126 
+1

x +  sqrt y =   27

y +  sqrt x  =   9

 

Subtract these

 

x - y   +  ( sqrt y - sqrt x)   =  18                {    factor x - y    as a difference  of roots  }

 

(sqrt x +  sqrt y)  ( sqrt x - sqrt y)  - (sqrt x - sqrt y)    =  18        { factor out  sqrt x  - sqrt y }

 

(sqrt x  - sqrt y)  ( sqrt x + sqrt y  - 1)     =  18

 

Note  that    factors  of 18   are    1   2   3    6   9    18

 

And note that  

 

(3)  (6)  = 18

 

(sqrt 25   - sqrt 4 )  ( sqrt 25  + sqrt 4  - 1)  = 18

 

(5  - 2)  ( 5  + 2   -1)  = 18

 

(3) ( 6)  =  18

 

So

 

x = 25     y = 4

 

x + y  =   29

 

cool cool cool

 Jan 22, 2021
edited by CPhill  Jan 22, 2021

49 Online Users

avatar
avatar
avatar
avatar