The increasing sequence of positive integers \(a_1,a_2,a_3...\) has the property that \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\) for all \(n \ge 1\) If \(a_7=120\) then find \(a_8\)
+128475 We have that
a1 + a2 = a3
a2 + a3 = a4 ⇒ a2 + (a1 + a2) = a1 + 2a2
a3 + a4 = a5 ⇒ (a1 + a2) + ( a1 + 2a2) = 2a1 + 3a2
a4 + a5 = a6 ⇒ (a1 + 2a2) + ( 2a1 + 3a2) = 3a1 + 5a2
a5 + a6 = a7 ⇒ (2a1 + 3a2) + ( 3a1 + 5a2) = 5a1 + 8a2 = 120
a1 = [ 120 - 8a2 ] / 5
a1 = 120 / 5 - 8a2 / 5
a1 = 24 - 8a2 / 5
a1 will be an integer and < a2 when a2 = 10
Then a1 = 24 - 8(10)/5 = 24 - 80/5 = 24 - 16 = 8
So
a1 = 8
a2 = 10
a3 = 18
a4 = 28
a5 = 46
a6 = 74
a7 = 120
a8= 194
