Rolling four standard dice, what is the probability that the product of the four results is even and a multiple of 3?
There are 975 such products as follows:
1116 , 1123 , 1126 , 1132 , 1134 , 1136 , 1143 , 1146 , 1156 , 1161 , 1162 , 1163 , 1164 , 1165 , 1166 , 1213 , 1216 , 1223 , 1226 , 1231 , 1232 , 1233 , 1234 , 1235 , 1236 , 1243 , 1246 , 1253 , 1256 , 1261 , 1262 , 1263 , 1264 , 1265 , 1266 , 1312 , 1314 , 1316 , 1321 , 1322 , 1323 , 1324 , 1325 , 1326 , 1332 , 1334 , 1336 , 1341 , 1342 , 1343 , 1344 , 1345 , 1346 , 1352 , 1354 , 1356 , 1361 , 1362 , 1363 , 1364 , 1365 , 1366 , 1413 , 1416 , 1423 , 1426 , 1431 , 1432 , 1433 , 1434 , 1435 , 1436 , 1443 , 1446 , 1453 , 1456 , 1461 , 1462 , 1463 , 1464 , 1465 , 1466 , 1516 , 1523 , 1526 , 1532 , 1534 , 1536 , 1543 , 1546 , 1556 , 1561 , 1562 , 1563 , 1564 , 1565 , 1566 , 1611 , 1612 , 1613 , 1614 , 1615 , 1616 , 1621 , 1622 , 1623 , 1624 , 1625 , 1626 , 1631 , 1632 , 1633 , 1634 , 1635 , 1636 , 1641 , 1642 , 1643 , 1644 , 1645 , 1646 , 1651 , 1652 , 1653 , 1654 , 1655 , 1656 , 1661 , 1662 , 1663 , 1664 , 1665 , 1666 , 2113 , 2116 , 2123 , 2126 , 2131 , 2132 , 2133 , 2134 , 2135 , 2136 , 2143 , 2146 , 2153 , 2156 , 2161 , 2162 , 2163 , 2164 , 2165 , 2166 , 2213 , 2216 , 2223 , 2226 , 2231 , 2232 , 2233 , 2234 , 2235 , 2236 , 2243 , 2246 , 2253 , 2256 , 2261 , 2262 , 2263 , 2264 , 2265 , 2266 , 2311 , 2312 , 2313 , 2314 , 2315 , 2316 , 2321 , 2322 , 2323 , 2324 , 2325 , 2326 , 2331 , 2332 , 2333 , 2334 , 2335 , 2336 , 2341 , 2342 , 2343 , 2344 , 2345 , 2346 , 2351 , 2352 , 2353 , 2354 , 2355 , 2356 , 2361 , 2362 , 2363 , 2364 , 2365 , 2366 , 2413 , 2416 , 2423 , 2426 , 2431 , 2432 , 2433 , 2434 , 2435 , 2436 , 2443 , 2446 , 2453 , 2456 , 2461 , 2462 , 2463 , 2464 , 2465 , 2466 , 2513 , 2516 , 2523 , 2526 , 2531 , 2532 , 2533 , 2534 , 2535 , 2536 , 2543 , 2546 , 2553 , 2556 , 2561 , 2562 , 2563 , 2564 , 2565 , 2566 , 2611 , 2612 , 2613 , 2614 , 2615 , 2616 , 2621 , 2622 , 2623 , 2624 , 2625 , 2626 , 2631 , 2632 , 2633 , 2634 , 2635 , 2636 , 2641 , 2642 , 2643 , 2644 , 2645 , 2646 , 2651 , 2652 , 2653 , 2654 , 2655 , 2656 , 2661 , 2662 , 2663 , 2664 , 2665 , 2666 , 3112 , 3114 , 3116 , 3121 , 3122 , 3123 , 3124 , 3125 , 3126 , 3132 , 3134 , 3136 , 3141 , 3142 , 3143 , 3144 , 3145 , 3146 , 3152 , 3154 , 3156 , 3161 , 3162 , 3163 , 3164 , 3165 , 3166 , 3211 , 3212 , 3213 , 3214 , 3215 , 3216 , 3221 , 3222 , 3223 , 3224 , 3225 , 3226 , 3231 , 3232 , 3233 , 3234 , 3235 , 3236 , 3241 , 3242 , 3243 , 3244 , 3245 , 3246 , 3251 , 3252 , 3253 , 3254 , 3255 , 3256 , 3261 , 3262 , 3263 , 3264 , 3265 , 3266 , 3312 , 3314 , 3316 , 3321 , 3322 , 3323 , 3324 , 3325 , 3326 , 3332 , 3334 , 3336 , 3341 , 3342 , 3343 , 3344 , 3345 , 3346 , 3352 , 3354 , 3356 , 3361 , 3362 , 3363 , 3364 , 3365 , 3366 , 3411 , 3412 , 3413 , 3414 , 3415 , 3416 , 3421 , 3422 , 3423 , 3424 , 3425 , 3426 , 3431 , 3432 , 3433 , 3434 , 3435 , 3436 , 3441 , 3442 , 3443 , 3444 , 3445 , 3446 , 3451 , 3452 , 3453 , 3454 , 3455 , 3456 , 3461 , 3462 , 3463 , 3464 , 3465 , 3466 , 3512 , 3514 , 3516 , 3521 , 3522 , 3523 , 3524 , 3525 , 3526 , 3532 , 3534 , 3536 , 3541 , 3542 , 3543 , 3544 , 3545 , 3546 , 3552 , 3554 , 3556 , 3561 , 3562 , 3563 , 3564 , 3565 , 3566 , 3611 , 3612 , 3613 , 3614 , 3615 , 3616 , 3621 , 3622 , 3623 , 3624 , 3625 , 3626 , 3631 , 3632 , 3633 , 3634 , 3635 , 3636 , 3641 , 3642 , 3643 , 3644 , 3645 , 3646 , 3651 , 3652 , 3653 , 3654 , 3655 , 3656 , 3661 , 3662 , 3663 , 3664 , 3665 , 3666 , 4113 , 4116 , 4123 , 4126 , 4131 , 4132 , 4133 , 4134 , 4135 , 4136 , 4143 , 4146 , 4153 , 4156 , 4161 , 4162 , 4163 , 4164 , 4165 , 4166 , 4213 , 4216 , 4223 , 4226 , 4231 , 4232 , 4233 , 4234 , 4235 , 4236 , 4243 , 4246 , 4253 , 4256 , 4261 , 4262 , 4263 , 4264 , 4265 , 4266 , 4311 , 4312 , 4313 , 4314 , 4315 , 4316 , 4321 , 4322 , 4323 , 4324 , 4325 , 4326 , 4331 , 4332 , 4333 , 4334 , 4335 , 4336 , 4341 , 4342 , 4343 , 4344 , 4345 , 4346 , 4351 , 4352 , 4353 , 4354 , 4355 , 4356 , 4361 , 4362 , 4363 , 4364 , 4365 , 4366 , 4413 , 4416 , 4423 , 4426 , 4431 , 4432 , 4433 , 4434 , 4435 , 4436 , 4443 , 4446 , 4453 , 4456 , 4461 , 4462 , 4463 , 4464 , 4465 , 4466 , 4513 , 4516 , 4523 , 4526 , 4531 , 4532 , 4533 , 4534 , 4535 , 4536 , 4543 , 4546 , 4553 , 4556 , 4561 , 4562 , 4563 , 4564 , 4565 , 4566 , 4611 , 4612 , 4613 , 4614 , 4615 , 4616 , 4621 , 4622 , 4623 , 4624 , 4625 , 4626 , 4631 , 4632 , 4633 , 4634 , 4635 , 4636 , 4641 , 4642 , 4643 , 4644 , 4645 , 4646 , 4651 , 4652 , 4653 , 4654 , 4655 , 4656 , 4661 , 4662 , 4663 , 4664 , 4665 , 4666 , 5116 , 5123 , 5126 , 5132 , 5134 , 5136 , 5143 , 5146 , 5156 , 5161 , 5162 , 5163 , 5164 , 5165 , 5166 , 5213 , 5216 , 5223 , 5226 , 5231 , 5232 , 5233 , 5234 , 5235 , 5236 , 5243 , 5246 , 5253 , 5256 , 5261 , 5262 , 5263 , 5264 , 5265 , 5266 , 5312 , 5314 , 5316 , 5321 , 5322 , 5323 , 5324 , 5325 , 5326 , 5332 , 5334 , 5336 , 5341 , 5342 , 5343 , 5344 , 5345 , 5346 , 5352 , 5354 , 5356 , 5361 , 5362 , 5363 , 5364 , 5365 , 5366 , 5413 , 5416 , 5423 , 5426 , 5431 , 5432 , 5433 , 5434 , 5435 , 5436 , 5443 , 5446 , 5453 , 5456 , 5461 , 5462 , 5463 , 5464 , 5465 , 5466 , 5516 , 5523 , 5526 , 5532 , 5534 , 5536 , 5543 , 5546 , 5556 , 5561 , 5562 , 5563 , 5564 , 5565 , 5566 , 5611 , 5612 , 5613 , 5614 , 5615 , 5616 , 5621 , 5622 , 5623 , 5624 , 5625 , 5626 , 5631 , 5632 , 5633 , 5634 , 5635 , 5636 , 5641 , 5642 , 5643 , 5644 , 5645 , 5646 , 5651 , 5652 , 5653 , 5654 , 5655 , 5656 , 5661 , 5662 , 5663 , 5664 , 5665 , 5666 , 6111 , 6112 , 6113 , 6114 , 6115 , 6116 , 6121 , 6122 , 6123 , 6124 , 6125 , 6126 , 6131 , 6132 , 6133 , 6134 , 6135 , 6136 , 6141 , 6142 , 6143 , 6144 , 6145 , 6146 , 6151 , 6152 , 6153 , 6154 , 6155 , 6156 , 6161 , 6162 , 6163 , 6164 , 6165 , 6166 , 6211 , 6212 , 6213 , 6214 , 6215 , 6216 , 6221 , 6222 , 6223 , 6224 , 6225 , 6226 , 6231 , 6232 , 6233 , 6234 , 6235 , 6236 , 6241 , 6242 , 6243 , 6244 , 6245 , 6246 , 6251 , 6252 , 6253 , 6254 , 6255 , 6256 , 6261 , 6262 , 6263 , 6264 , 6265 , 6266 , 6311 , 6312 , 6313 , 6314 , 6315 , 6316 , 6321 , 6322 , 6323 , 6324 , 6325 , 6326 , 6331 , 6332 , 6333 , 6334 , 6335 , 6336 , 6341 , 6342 , 6343 , 6344 , 6345 , 6346 , 6351 , 6352 , 6353 , 6354 , 6355 , 6356 , 6361 , 6362 , 6363 , 6364 , 6365 , 6366 , 6411 , 6412 , 6413 , 6414 , 6415 , 6416 , 6421 , 6422 , 6423 , 6424 , 6425 , 6426 , 6431 , 6432 , 6433 , 6434 , 6435 , 6436 , 6441 , 6442 , 6443 , 6444 , 6445 , 6446 , 6451 , 6452 , 6453 , 6454 , 6455 , 6456 , 6461 , 6462 , 6463 , 6464 , 6465 , 6466 , 6511 , 6512 , 6513 , 6514 , 6515 , 6516 , 6521 , 6522 , 6523 , 6524 , 6525 , 6526 , 6531 , 6532 , 6533 , 6534 , 6535 , 6536 , 6541 , 6542 , 6543 , 6544 , 6545 , 6546 , 6551 , 6552 , 6553 , 6554 , 6555 , 6556 , 6561 , 6562 , 6563 , 6564 , 6565 , 6566 , 6611 , 6612 , 6613 , 6614 , 6615 , 6616 , 6621 , 6622 , 6623 , 6624 , 6625 , 6626 , 6631 , 6632 , 6633 , 6634 , 6635 , 6636 , 6641 , 6642 , 6643 , 6644 , 6645 , 6646 , 6651 , 6652 , 6653 , 6654 , 6655 , 6656 , 6661 , 6662 , 6663 , 6664 , 6665 , 6666 , Total = 975 such numbers.
Note: Even though many of the above permutatuions are ODD, but their products are all EVEN and MULTIPLES of 3. You may test any of them such as: 6415 =6 x 4 x 1 x 5==120 - which is EVEN and MULTIPLE of 3.
