+0  
 
0
58
1
avatar

Let \(P = \log_a b,\) where \(P = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdots \log_{2008} 2009\) and  a and b are relatively prime positive integers. Find the smallest possible value of a + b. 

 Feb 21, 2020
 #1
avatar+109450 
+1

Note  ...using the change-of-base theorem we can write

 

P  = log2 3  *  log 3 4 *  log 4 5 *   .......  *log 2007 2008  * log 2008 2009        as

 

                  log 3    *   log 4   *    log 5                        log 2008   *  log  2009

P =          _____     _____       _____    *  ......     *   _______      _________    =

                  log 2        log 3         log 4   .                    log 2007       log  2008

 

 

                    1                   log 2009     

                 ____    *         ________                     =

                  log 2                   1

 

 

                          log  2009

                         ________  =       log 2 2009  =   log a b

                              log 2

 

a =  2    b   = 2009

 

a  +  b  = 

 

2011

 

 

cool cool cool

 Feb 21, 2020

12 Online Users

avatar
avatar