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If \(x+x^{-1}=\sqrt 2,\) find \(x^{20}\).

 Dec 20, 2019
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x  +  x^-1   = √2      multiply through by   x

 

x^2  + 1  =  √2x

 

x^2 - √2x  =   - 1       complete the square on x

 

x^2 - √2/x  + 1/2  =  -1 + 1/2

 

[ x - (1/√2)]^2   =  -1/2          take both roots

 

x - (1/√2 )  =   ±i/  √2

 

x  =   ( 1 + i)               x   =   ( 1 - i )

       ______     or               ________

             √2                                √2

 

 

x ^20  =  [  ( 1 + i)) ] ^20

             ____________

                     ( √2)^20

 

Note that  ( 1 + i)^2  =  2i  .....so we have

 

                         [ (1 + i)^2 ] ^10                            [ 2i ] ^10

x^20  =             _______________         =           ________   =    i^10  =   -1  

                              [( √2)^2]^10                                2^10

 

The same result  is obtained  for  the other solution for x raised to the 20th power

 

 

cool cool cool

 Dec 20, 2019

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