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In the square ABCD, E is the midpoint of AB.  A line is drawn from E, perpendicular from CE, and intersecting AD at F.  Find the ratio of angle BCF to angle BCE.

Dec 22, 2019

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tan  (BCE) = EB/ BC =  (1/2)S/ S  = (1/2)

So arctan (1/2)  = angle BCE

EC =   sqrt  (S^2  + (1/2S)^2 ]  =  (S/2)sqrt (5)    =  [  sqrt (5) / 2 ] S

And angle EEF =  angle BCE  ≈ 26.565°   =   arctan (1/2)

So

cos  (artan (1/2) )  =  (1/2S) / EF

2 / sqrt (5)  =  S/ (2EF)

2EF / S  =  sqrt (5) /2

EF = [ sqrt (5) / 4  ] S

So   tan ECF  =  EF/ EC  =     [ sqrt (5) / 4  ] S                 1

_____________     =       ___

[sqrt (5 )/ 2 ] S                  2

So  arctan (1/2) =   ECF

So  angle  BCF  =   angle BCE   +  angle  ECF  =    arctan (1/2)  +arctan (1/2)

And  angle  BCE  =  arctan (1/2)

So

Angle BCF                   [ arctan (1/2)  + arctan (1/2)  ]            2arctan (1/2)               2

__________  =           _________________________  =      ___________  =       ____

Angle BCE                             arctan (1/2)                                arctan (1/2)               1

Dec 22, 2019